Ik zal mijn probleem tonen in een voorbeeld met een 3x3 matrix. Ik denk dat ik ergens fouten moet maken tegen basisnoties van de lineaire algebra...
Waar zit ik fout ?
\((A-\lambda I)^k v = 0\)
Is volgens mij de definitie van een generalized eigenvector v van orde k.Het Voorbeeld:
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
alle eigenwaarden zijn 1 met multipliciteit 3.\((A - I) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\((A - I)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\((A - I)^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
De gewone eigenvectoren (x,y,z) zoeken, deze voldoen aan:\(y = -z \quad z = 0\)
\(\begin{bmatrix} t \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Ik kies \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Er zijn geen andere lineair onafhankelijke eigenvectoren die aan dit stelsel voldoen, dus kijken we naar de 2de orde\(z = 0\)
dus alle vectoren \(\begin{bmatrix} t \\ s \\ 0 \end{bmatrix}\)
Ik kies \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Er zijn geen vectoren die aan dit stelsel voldoen die linear onafhankelijk zijn van de echte eigenvector en de vorige gevonden vector, dus we gaan naar orde 3De nulmatrix. Dus elke vector voldoet hieraan. We kiezen
\(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
We hebben dus de canonische basis in R3 gekozen als set van lineair onafhankelijke generalized eigenvectoren.Dit betekent dat
\(M J M^{-1} = A\)
M is hier de identity matrix en een jordan canonical form heeft geen van nul verschillend element voor het element in kolom 3 en rij 1. MJinv(M) kan dus nooit A worden als M gelijk is aan de identity matrix.Ergens in mijn berekeningen moet ik dus uitgegaan zijn van een foutieve definitie of fouten gemaakt hebben tegen basisprincipes van de lineaire algebra.
Waar ben ik de mist in gegaan ???
Alvast bedankt !
