Ongelijkheid

dirkwb

Bewijs dat voor alle x>0 geldt:

\( \int_0^x \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t >0 \)

Ik snap niet hoe ik dit moet doen, partieel integreren leverde niets op. Hoe moet je dit aanpakken?

bessie

Reeksontwikkeling van sin(t)?

dirkwb

Ik snap niet hoe je dat dan kan gebruiken.

Safe

Bekijk eerst eens de grafiek. Maak daarna een afschatting van de integrand.

EvilBro

Echt een mooi bewijs lukt me niet, dan maar het volgende:

Bekijk de bijdrage van een 'periode':

\( \int_{2 k \pi}^{(2 k + 2) \pi} \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t = \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t + \int_{(2 k + 1) \pi}^{(2 k + 2) \pi} \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t\)

\(= \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t + \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \frac{ \sin(t + \pi)}{t+1 + \pi} \mbox{d}t = \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t - \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \frac{ \sin(t)}{t+1 + \pi} \mbox{d}t\)

\(= \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \sin(t) \left(\frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+1+\pi} \right) \mbox{d}t = \int_{2 k \pi}^{(2 k + 1) \pi} \frac{\pi \sin(t)}{(t+1)(t+1+\pi)} \mbox{d}t\)

De term in de integraal is in het bekeken gebied altijd positief, dus de bijdrage van een volledige periode is positief. Een 'periode' is opgebouwd uit een eerste helft die positief is en een tweede helft die negatief is. Aangezien de integraal over de hele 'periode' positief is en alleen het eerste deel een positieve bijdrage levert, zal de integraal voor niet volledige 'perioden' ook positief moeten zijn, dus:

\( \int_{0}^{x} \frac{ \sin(t)}{t+1} \mbox{d}t \geq 0 \)

Maar zoals ik al zei: niet echt mooi.

bessie

Sorry, reeksontwikkeling werkt inderdaad niet. Safe's oplossing is beter uitvoerbaar.

Ik stel dat voor alle x>0 de integraal gelijk is aan zijn deel-integralen van 2k.pi tot (2k+1).pi met k=0,1,... zdd 2k.pi<x, plus de integraal van 2k.pi tot x.

Voor 2k.pi<t<(2k+1).pi zijn teller en noemer van de integrand positief, dus is de deelintegraal positief. Voor alle (2k+1).pi<t<(2k+2).pi is de noemer van de integrand negatief en is dus de deelintegraal negatief.

Bewijs nu dat van elke positieve deelintegraal de absolute waarde groter is dan die van de opvolgende negatieve.

Bewijs tenslotte, dat van de laatste deel-integraal, dus van 2k.pi tot x, het eventuele negatieve deel kleiner is dan de integraal van t=(2k+1).pi tot t=(2k+2)pi, dan is het bewijs m.i. rond.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Ongelijkheid

Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid

Re: Ongelijkheid