Springen naar inhoud

[wiskunde] continu´teit.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 september 2005 - 11:26

Hallo,

Wie kan mij helpen met het begrip continu´teit ik heb hier drie voorbeeldjes voor mijn neus liggen toch lukt het mij niet te achterhalen waarom ze nu net continue zijn.
Het tweede voorbeeldje lijkt me zowel rechts als links continue en het derde lijkt me in 1 rechtscontinue en in -1 links continue.

http://expand.xs4all...le=continue.JPG

De allerlaatste paragraaf wijst op het feit dat men beter niet gebruik kan maken van een tek om de continu´teit af te leiden maar hoe doe ik het dan wel correct en wat bedoelt men met dat laatste functie voorschrift?

Wie wil mij even helpen? Dank bij voorbaat. Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 september 2005 - 12:21

Dat hangt samen met het limiet begrip.
Een functie is f(x) is continu in x=a als
lim f(x)=f(a).

x→a
Rechtscontinu als:
lim f(x)=f(a).

x↓a
en linkscontinu als
lim f(x)=f(a).

x↑a
De opmerking bij de laatste vraag snap ik niet want ik zou niet weten hoe je die functie moet tekenen. Hij is in ieder geval overal discontinu omdat de limiet nergens bestaat.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 september 2005 - 13:42

Snap je de definitie van resp. links- en rechtscontinu´teit?

De tweede staat bekend als de Dirichlet functie en is inderdaad overal discontinu. Het voorschrift stelt dat rationale getallen (dus te schrijven als a/b) de functiewaarde 1 krijgen terwijl irrationale (niet te schrijven als a/b, bvb pi of wortel(2)) de functiewaarde 0 krijgen. In feite is deze functie niet te tekenen.

#4

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 september 2005 - 15:17

ik snap deze difinitie van links respectievelijk rechterlimiet wel maar ik heb nog zo'n andere difinitie daarvoor een ipselon delda defintitei of zoiest daar snap ik niet veel van.

In feite is deze functie niet te tekenen.


waarom niet?

Kan een functie in een punt zowel continue zijn en niet afleidbaar?

Groeten.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 september 2005 - 21:28

ik snap deze difinitie van links respectievelijk rechterlimiet wel maar ik heb nog zo'n andere difinitie daarvoor een ipselon delda defintitei of zoiest daar snap ik niet veel van.

Je kan deze begrippen inderdaad wiskundig formaliseren door middel van een epsilon-delta definititie. Wat snap je niet aan die definities?

In feite is deze functie niet te tekenen.

waarom niet?

Ik zou zeggen, probeer maar eens, dan merk je snel waarom niet :wink:
Herinner je goed wat een rationaal/irrationaal getal inhoudt.

Kan een functie in een punt zowel continue zijn en niet afleidbaar?

Groeten.

Ja, dat kan. Afleidbaarheid is een sterkere eis. Afleidbaarheid in een punt impliceert er continuiteit maar niet omgekeerd. Schoolvoorbeeld hiervoor is y = |x|, wel continu 0 in maar niet afleidbaar.

#6

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 17 september 2005 - 22:55

En het kan nog extremer! De Weierstrass-functie is overal continu, maar nergens differentieerbaar!

http://mathworld.wol...ssFunction.html

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2005 - 10:31

Je kan deze begrippen inderdaad wiskundig formaliseren door middel van een epsilon-delta definititie. Wat snap je niet aan die definities?  


Wel ze lijkt me erg onhandig in mijn cursus zegt men dat je een functie het best onderzoekt zonder ervan eerst een tekening te maken ik kan deze deifinitie niet echt zonder tekening toepassen.

Ja, dat kan. Afleidbaarheid is een sterkere eis. Afleidbaarheid in een punt impliceert er continuiteit maar niet omgekeerd. Schoolvoorbeeld hiervoor is y = |x|, wel continu 0 in maar niet afleidbaar.


wat is dan de eis van afleidbaarheid?

Groeten.

#8

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2005 - 11:12

wat is dan de eis van afleidbaarheid?

Groeten.

Als je de definitie van de afgeleide opschrijft (en daarvoor hoef je geen epsilomdeltiek te gebruiken in dit geval) dan krijg je een quotient waarvan de noemer zeker naar 0 gaat. Een voorwaarde voor het bestaan van de afgeleide is dus dat de teller dus ook naar 0 gaan want anders kan de limiet van het quotient niet bestaan en die voorwaarde is hetzelfde als continuiteit.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 september 2005 - 13:39

Wel ze lijkt me erg onhandig in mijn cursus zegt men dat je een functie het best onderzoekt zonder ervan eerst een tekening te maken ik kan deze deifinitie niet echt zonder tekening toepassen

Dat kan ik begrijpen. Die epsilon-delta definities zijn meestal nog abstract/technisch en zijn in de 'praktijk' niet echt handig om toe te passen. Ze maken het echter wel mogelijk het deze begrippen (limieten, continuiteit, ...) op een wiskundig correcte manier vast te leggen. In de praktijk zal je dit enkel moeten gebruiken als je geen andere alternatieven hebt.

wat is dan de eis van afleidbaarheid?

Als je het 'formeel' wil kan je de definities erbij halen, maar misschien zoek je eerder een intu´tieve uitleg?
Voor continu´teit volstaat het dat de functie geen 'gaatjes' heeft, dat je ze bij wijze van spreken kan tekenen zonder je pen op te heffen. Felle 'hoeken' (knikpunten bijvoorbeeld) zoals in x = 0 voor de functie y = |x| zijn dus toegelaten, de functie loopt immers gewoon 'continu' door.
Voor afleidbaarheid moet zowel de linkerafgeleide als de rechterafgeleide bestaan en deze moeten gelijk zijn, meetkundig betekent dit dat de raaklijn er uniek bepaald moet zijn. Het is duidelijk dat dat bij y = |x| dus niet het geval is.

Samengevat: f(x) is afleidbaar in a => f(x) is continu in a.
Het omgekeerde geldt dus niet.

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 december 2009 - 00:23

Voor afleidbaarheid moet zowel de linkerafgeleide als de rechterafgeleide bestaan en deze moeten gelijk zijn,

Kan je dit ook bewijzen?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 december 2009 - 00:25

Dit is oud... De afgeleide is een limiet, je hebt misschien eerder gezien dat een limiet bestaat als linker- en rechterlimiet bestaan en samenvallen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 december 2009 - 00:33

Wel gezien, niet bewezen...

En ook al kan ik niet goed van die bewijsjes, ik vind ze wel razend interessant ;-) Maar als je daar een tip voor hebt, kan ik zelf mss eens proberen? Als dat (na al mijn vragen) niet te veel is gevraagd, natuurlijk.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 december 2009 - 00:45

De enige niet-triviale richting is (LL = RL = reŰel getal L) => limiet bestaat en is gelijk aan L.

Schets van een bewijs: schrijf de definities uit van LL en RL, beide gelijk aan L. Voor een vaste e>0 garanderen die definities het bestaan van delta's zodat (...), kies de strengste delta van die twee zodat beide implicaties gelden, die twee samennemen geeft de limiet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 december 2009 - 00:55

Bedankt, daar kan ik eens mee gaan proberen!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures