[wiskunde] continuïteit.

Bert F

Hallo,

Wie kan mij helpen met het begrip continuïteit ik heb hier drie voorbeeldjes voor mijn neus liggen toch lukt het mij niet te achterhalen waarom ze nu net continue zijn.

Het tweede voorbeeldje lijkt me zowel rechts als links continue en het derde lijkt me in 1 rechtscontinue en in -1 links continue.

http://expand.xs4all.nl/uploadarchief/down...le=continue.JPG

De allerlaatste paragraaf wijst op het feit dat men beter niet gebruik kan maken van een tek om de continuïteit af te leiden maar hoe doe ik het dan wel correct en wat bedoelt men met dat laatste functie voorschrift?

Wie wil mij even helpen? Dank bij voorbaat. Groeten.

Bert

Dat hangt samen met het limiet begrip.

Een functie is f(x) is continu in x=a als

Code: Selecteer alles

lim f(x)=f(a).



x→a

Rechtscontinu als:

Code: Selecteer alles

lim f(x)=f(a).



x↓a

en linkscontinu als

Code: Selecteer alles

lim f(x)=f(a).



x↑a

De opmerking bij de laatste vraag snap ik niet want ik zou niet weten hoe je die functie moet tekenen. Hij is in ieder geval overal discontinu omdat de limiet nergens bestaat.

TD

Snap je de definitie van resp. links- en rechtscontinuïteit?

De tweede staat bekend als de Dirichlet functie en is inderdaad overal discontinu. Het voorschrift stelt dat rationale getallen (dus te schrijven als a/b) de functiewaarde 1 krijgen terwijl irrationale (niet te schrijven als a/b, bvb pi of wortel(2)) de functiewaarde 0 krijgen. In feite is deze functie niet te tekenen.

Bert F

ik snap deze difinitie van links respectievelijk rechterlimiet wel maar ik heb nog zo'n andere difinitie daarvoor een ipselon delda defintitei of zoiest daar snap ik niet veel van.

In feite is deze functie niet te tekenen.

waarom niet?

Kan een functie in een punt zowel continue zijn en niet afleidbaar?

Groeten.

TD

ik snap deze difinitie van links respectievelijk rechterlimiet wel maar ik heb nog zo'n andere difinitie daarvoor een ipselon delda defintitei of zoiest daar snap ik niet veel van.

Je kan deze begrippen inderdaad wiskundig formaliseren door middel van een epsilon-delta definititie. Wat snap je niet aan die definities?

In feite is deze functie niet te tekenen.
waarom niet?

Ik zou zeggen, probeer maar eens, dan merk je snel waarom niet

Herinner je goed wat een rationaal/irrationaal getal inhoudt.

Bert F schreef:Kan een functie in een punt zowel continue zijn en niet afleidbaar?

Groeten.

Ja, dat kan. Afleidbaarheid is een sterkere eis. Afleidbaarheid in een punt impliceert er continuiteit maar niet omgekeerd. Schoolvoorbeeld hiervoor is y = |x|, wel continu 0 in maar niet afleidbaar.

Brinx

En het kan nog extremer! De Weierstrass-functie is overal continu, maar nergens differentieerbaar!

http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html

Bert F

Je kan deze begrippen inderdaad wiskundig formaliseren door middel van een epsilon-delta definititie. Wat snap je niet aan die definities?

Wel ze lijkt me erg onhandig in mijn cursus zegt men dat je een functie het best onderzoekt zonder ervan eerst een tekening te maken ik kan deze deifinitie niet echt zonder tekening toepassen.

Ja, dat kan. Afleidbaarheid is een sterkere eis. Afleidbaarheid in een punt impliceert er continuiteit maar niet omgekeerd. Schoolvoorbeeld hiervoor is y = |x|, wel continu 0 in maar niet afleidbaar.

wat is dan de eis van afleidbaarheid?

Groeten.

Bert

Bert F schreef:wat is dan de eis van afleidbaarheid?

Groeten.

Als je de definitie van de afgeleide opschrijft (en daarvoor hoef je geen epsilomdeltiek te gebruiken in dit geval) dan krijg je een quotient waarvan de noemer zeker naar 0 gaat. Een voorwaarde voor het bestaan van de afgeleide is dus dat de teller dus ook naar 0 gaan want anders kan de limiet van het quotient niet bestaan en die voorwaarde is hetzelfde als continuiteit.

TD

Wel ze lijkt me erg onhandig in mijn cursus zegt men dat je een functie het best onderzoekt zonder ervan eerst een tekening te maken ik kan deze deifinitie niet echt zonder tekening toepassen

Dat kan ik begrijpen. Die epsilon-delta definities zijn meestal nog abstract/technisch en zijn in de 'praktijk' niet echt handig om toe te passen. Ze maken het echter wel mogelijk het deze begrippen (limieten, continuiteit, ...) op een wiskundig correcte manier vast te leggen. In de praktijk zal je dit enkel moeten gebruiken als je geen andere alternatieven hebt.

wat is dan de eis van afleidbaarheid?

Als je het 'formeel' wil kan je de definities erbij halen, maar misschien zoek je eerder een intuïtieve uitleg?

Voor continuïteit volstaat het dat de functie geen 'gaatjes' heeft, dat je ze bij wijze van spreken kan tekenen zonder je pen op te heffen. Felle 'hoeken' (knikpunten bijvoorbeeld) zoals in x = 0 voor de functie y = |x| zijn dus toegelaten, de functie loopt immers gewoon 'continu' door.

Voor afleidbaarheid moet zowel de linkerafgeleide als de rechterafgeleide bestaan en deze moeten gelijk zijn, meetkundig betekent dit dat de raaklijn er uniek bepaald moet zijn. Het is duidelijk dat dat bij y = |x| dus niet het geval is.

Samengevat: f(x) is afleidbaar in a => f(x) is continu in a.

Het omgekeerde geldt dus niet.

In physics I trust

Voor afleidbaarheid moet zowel de linkerafgeleide als de rechterafgeleide bestaan en deze moeten gelijk zijn,

Kan je dit ook bewijzen?

TD

Dit is oud... De afgeleide is een limiet, je hebt misschien eerder gezien dat een limiet bestaat als linker- en rechterlimiet bestaan en samenvallen?

In physics I trust

Wel gezien, niet bewezen...

En ook al kan ik niet goed van die bewijsjes, ik vind ze wel razend interessant

Maar als je daar een tip voor hebt, kan ik zelf mss eens proberen? Als dat (na al mijn vragen) niet te veel is gevraagd, natuurlijk.

TD

De enige niet-triviale richting is (LL = RL = reëel getal L) => limiet bestaat en is gelijk aan L.

Schets van een bewijs: schrijf de definities uit van LL en RL, beide gelijk aan L. Voor een vaste e>0 garanderen die definities het bestaan van delta's zodat (...), kies de strengste delta van die twee zodat beide implicaties gelden, die twee samennemen geeft de limiet.

In physics I trust

Bedankt, daar kan ik eens mee gaan proberen!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] continuïteit.

[wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu

Re: [wiskunde] continu