Convergent

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 31-10-'10, 15:15

lucca

Berichten: 758

Convergent

Zij de rij (ak) gegeven door
\(a_1 = 1, \)
\( a_{n+1} = a_n + \frac{\sqrt{a_n}}{n+1} \)
Bepaal of deze reek convergent is,

Nou, ja hij is convergent, het groeien wordt erg snel de kop ingedrukt....

Maar ik dacht, als n groot wordt dan is a_n+1 ongeveer a_n, dus lima_n+1 = lim a_n = L

dus dan krijg je :
\( L = L + \frac{\sqrt{L}}{\lim_{n \to \infty} ( n+1 ) }\)
maar dan loop ik vast, iemand een idee?
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 15:43

Fernand

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Convergent

Om te bewijzen dat een rij convergeert bestaan er criteria.

Heb je geen criterium gezien om aan te tonen dat een rij convergeert?

Probeer dan dat middel op de gegeven rij toe te passen.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 17:02

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent

Fernand schreef:Om te bewijzen dat een rij convergeert bestaan er criteria.

Heb je geen criterium gezien om aan te tonen dat een rij convergeert?

Probeer dan dat middel op de gegeven rij toe te passen.
ik dacht aan
\( lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n} \)
dan krijg je :
\(\lim_{n \to \infty}\frac{a_n + \frac{\sqrt{a_n}}{n+1}}{a_n} = \lim _{n \to \infty}(1 + \frac{1}{(n+1)\sqrt{a_n}} ) = 1 \)
Dus daar schieten we niks mee op, kunt u zeggen hoe u het zou doen?
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 17:39

Fernand

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Convergent

trokkitrooi schreef:......

Dus daar schieten we niks mee op,
Juist
kunt u zeggen hoe u het zou doen?
Ik probeer met convergentie criterium van Cauchy

maar ben nog aan het zoeken ....
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 18:05

Fernand

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Convergent

Ik begin een sterk vermoeden te krijgen dat de rij niet convergeert.

Misschien kan gezocht worden naar een divergente rij waarvan de overeenkomstige termen kleiner zijn dan deze van de gegeven rij.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 18:51

Fernand

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Convergent

Probeer eens deze weg

Toon aan dat :

De termen van de gegeven rij zijn groter dan de overeenkomstige termen van de rij

b1=1 ;
\( b_{n+1} = b_n + 1/(n+1) \)
en toon daarna aan dat de gegeven rij divergeert
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 18:52

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent

nee nee, hij moet echt convergeren... en ik weet het ook niet..
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 19:06

Fernand

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Convergent

Trokkitrooi,

Neem opnieuw de rij b_n welke ik heb voorgesteld.

Ben je akkoord dat de termen van die rij, vanaf de tweede term, kleiner zijn dan de overeenkomstige termen van de gegeven rij ?

De termen van de rij b_n

zijn nu

1

1+ 1/2

1+1/2 +1/3

enz

Als n zeer groot is zal de term b_n praktisch gelijk zijn aan

de harmonische reeks

1+1/2 +1/3 +...+1/n+....

en deze is divergent

dus de gegeven rij , die nog grotere termen heeft is volgens mij ook divergent

Ik denk dat dit juist is ??

Zie je ergens een fout???
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 20:00

lucca

Berichten: 758

Re: Convergent

Daar is geen spelt tussen te krijgen, je hebt gelijk. ;)

want je kunt inderdaad "mijn" rij als volgt schrijven :

benoem
\( a_2 = 1 + \frac{1}{2} = q > 1 \)
maar dan krijg je voor :
\( a_3 = q + \frac{q}{3} \)
dus :
\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{q}{3} \)
waarbij
\( \frac{q}{3} > \frac{1}{3} \)
Dus inderdaad groter dan de harmonische reeks, die divergeert, dus deze ook.

(echt super bedankt!)

Maar nog een vraagje terug, hoe kun je nu netjes opschrijven en dan bedoel ik dit :
\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{q}{3} \)
wat kan ik hier nu voor zetten , niet a_n ofzo...

toch?

oftewel, hoe kan ik van zo'n a_n+1 = 2*an bijv, een nette reeksformule maken?
Omhoog

Bericht 31-10-'10, 21:01

Fernand

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Convergent

trokkitrooi,

Wat denk je van de formulering

a_1 = 1

a_2 = 1 +1/2
\( a_3 = 1 + 1/2 + \sqrt{a_2}/3 > 1+1/2+1/3 \)
\( a_4 > 1 + 1/2 +1/3 + \sqrt{a_3}/4 > 1+1/2+1/3 +1/4 \)
\( a_5> 1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + \sqrt{a_4}/5 > 1+1/2+1/3 +1/4 +1/5 \)
...
\( a_n> 1 + 1/2 +1/3 + \ldots + \sqrt{a_{n-1}}/n > 1+1/2+1/3 +1/4 +1/5+ \ldots + 1/n \)
\( \lim a_n > \lim ( 1+1/2+1/3 +1/4 +1/5+ \ldots + 1/n) \)
Dus de rij a_n is divergent
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”