Springen naar inhoud

Construeren van bijecties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2010 - 16:58

Hopelijk kunnen jullie helpen met deze opgave, want ik weet niet goed hoe ik moet beginnen:

-----

a) [0,1] en [a,b] voor reŽle getallen van a < b;
b) [0,1) en [0,oneindig);
c) [0,1] en [0,1).

(De stelling van SchrŲder-Bernstein kan toegepast worden op deze situaties en garandeert het bestaan van bijecties, maar in deze opgave vraag ik een explicite beschrijving van een bijectie. Dus gebruik SchrŲder-Bernstein niet.)

-----

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2010 - 11:57

gevraagd is een bijectie
-----
[0,1] en [a,b] voor reŽle getallen van a < b;

-----


Je moet een bijectie zoeken van [0,1] naar [a,b]

Je kan bijvoorbeeld zorgen dat 0 op a komt en 1 op b.

Zoek het niet te ver, probeer grafisch [0,1] op x-as en [a,b] op y-as
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 november 2010 - 16:33

Tips voor b en c:

b) [0,1) en [0,oneindig);

Iets met 1/x, met wat puzzelen moet je daar wel uitkomen

c) [0,1] en [0,1).

Bekijk eens de deelverzameling LaTeX
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2010 - 17:56

voor b)

onderzoek de functie

f : [0,1) --> [0, oneindig) : x --> LaTeX
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#5

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 19:03

Sorry, maar ik snap bar weinig van wat jullie zeggen...

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2010 - 19:12

Doe het opgave per opgave; lukt a wel? Dat is mogelijk met een lineair verband...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2010 - 19:15

En als de eerste al niet lukt, probeer dan eerst eens dit:

- een bijectie tussen [0,1] en [2,3]

- een bijectie tussen [0,1] en [5,37]

Misschien helpt je dat op weg om de werkwijze aan te voelen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 19:42

En als de eerste al niet lukt, probeer dan eerst eens dit:

- een bijectie tussen [0,1] en [2,3]

- een bijectie tussen [0,1] en [5,37]

Misschien helpt je dat op weg om de werkwijze aan te voelen.

Een bijectie is dat een functie injectief en surjectief is, toch? Of gaat dat hier dan weer niet op?

Vlug gezegd, zou ik zeggen dat de bijecties tussen [0,1] en [2,3], [0, ... , 3], maar dat slaat natuurlijk nergens op?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2010 - 19:47

De functie y = 2x met x en y in R laat met elke x een unieke y overeenkomen en omgekeerd. Als je x waarden laat aannemen in het interval [0,1], neemt y waarden aan in het interval [0,2]. De functie y = 2x legt op die manier een bijectie tussen de verzamelingen [0,1] en [0,2]; met elk element uit de ene verzameling komt precies ťťn element uit de andere overeen, en omgekeerd. Begrijp je dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 20:27

De functie y = 2x met x en y in R laat met elke x een unieke y overeenkomen en omgekeerd. Als je x waarden laat aannemen in het interval [0,1], neemt y waarden aan in het interval [0,2]. De functie y = 2x legt op die manier een bijectie tussen de verzamelingen [0,1] en [0,2]; met elk element uit de ene verzameling komt precies ťťn element uit de andere overeen, en omgekeerd. Begrijp je dat?

Ja, dat begrijp ik. Dus een bijectie is gewoon een soort functievoorschrift? Een stel je dan een relatievoorschift op tussen [0,1] en [2,3]. Dus [0,1] --> [2,3]?
Hoe je dat dan opstelt, zou ik niet weten (zoals y = 2x).

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2010 - 20:31

Een bijectie is dat een functie injectief en surjectief is, toch?

Klopt.

Vlug gezegd, zou ik zeggen dat de bijecties tussen [0,1] en [2,3], [0, ... , 3], maar dat slaat natuurlijk nergens op?

Ehhh nee inderdaad... Dat is geeneens een functie? ;)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 20:38

Klopt.


Ehhh nee inderdaad... Dat is geeneens een functie? ;)

Dus een bijectie tussen [0,1] en [2,3] is dat als je voor x = 0, y = 2 krijgt en x = 1 en y = 3.

Dat lijkt mij dan y = x + 2. Maar hoe ga je dit met [0,1] en [a,b] doen?

#13

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 20:40

van [0,1] naar [a,b]


Neem de functie y = rx + a en laat hem werken op [0,1]
Maak een grafiek
Dan zie je dat het beeld [a, ?] is.

kies nu r zodat het vraagteken b wordt

Veranderd door Fernand, 03 november 2010 - 20:46

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#14

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2010 - 20:43

Dus een bijectie tussen [0,1] en [2,3] is dat als je voor x = 0, y = 2 krijgt en x = 1 en y = 3.

Dat lijkt mij dan y = x + 2.

Klopt!

(een andere mogelijkheid zou zijn: y=3-x, dan beeld je [0,1] als het ware omgekeerd op [2,3] af maar dat is natuurlijk nog steeds een bijectie).

Maar hoe ga je dit met [0,1] en [a,b] doen?

Lukt het wel tussen [0,1] en [5,37] ? En zo ja, lukt het ook tussen [0,1] en [LaTeX ,99] ? Nu enig idee hoe het tussen [0,1] en [a,b] moet?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#15

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 20:55

Klopt!

(een andere mogelijkheid zou zijn: y=3-x, dan beeld je [0,1] als het ware omgekeerd op [2,3] af maar dat is natuurlijk nog steeds een bijectie).


Lukt het wel tussen [0,1] en [5,37] ? En zo ja, lukt het ook tussen [0,1] en [LaTeX

,99] ? Nu enig idee hoe het tussen [0,1] en [a,b] moet?

Je mag bij een bijectie tussen [0,1] en [2,3] ook x = 0, y = 3 nemen? Dus het hoeft niet per se op volgorde.

Voor [0,1] en [5,37] zou ik zeggen x = 0 en y = 5. x = 1 en y = 37. Deze neemt 32 toe (in ťťn stapje), dus de richtingscoŽfficiŽnt is 32. De functie raakt de y-as in 5, dus y = 32x + 5. Als je voor andere voorwaarden kiest (x=0, y=37 en omgedraaid, gaat het op eenzelfde manier).

[0,1] en [LaTeX , 99]. x = 0 en y = LaTeX . x = 1 en y = 99. Deze neemt dus 99 - LaTeX toe (in ťťn 'stapje'), dat is dus de r.c.. De grafiek gaat door y-as bij y = LaTeX , dus:
y = (99 - LaTeX )x + LaTeX . (Andere voorwaarden geeft een andere bijectie op eenzelfde manier).



Dus een bijectie tussen [0,1] en [a,b] (met a < b) geeft:
x1 = 0 en y1 = a.
x2 = 1 en y2 = b.

y = ((b-a)/(1-0))x + a
y = (b-a)x + a

De tweede bijectie is dan:
x1 = 0 en y1 = b.
x2 = 1 en y2 = a.

y (a-b)x + b
Of gaat dit niet op omdat a kleiner dan b is?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures