Globaal minimum/maximum

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 17

Globaal minimum/maximum

Hallo!

Ik heb een korte vraag over extreme punten. Wanneer is een punt 'globaal'

Als voorbeeld: f(x) = e^x * X^2 ; Bereken de locale en globale extreme punten en buigpunten op het interval [-3, 3]

Om de extreme waarden te vinden, bereken je de eerste afgeleide:

e^x (x^2 + 2x)

e^x (x(x + 2)

----- -3 -2 -1 0 1 2 3

e^x +++++++++++++

x -------------0++++

x+2 -----0++++++++

f'(x) +++ 0----0++++

De functie heeft dus een LOCAAL maximum op f(x) = -2 en een GLOBAAL minimum op f(x) = 0

* Maar op het eindpunt van het interval.. Is dit dan ook een locaal maximum of niet.

* En stel dat dit het tekenschema van f'(x) was: ---0+++++ op interval [-3,3]. Wat is dan het globaal minimum/maximum of is deze er niet?

Zou heel mooi zijn als iemand deze vandaag nog zou kunnen beantwoorden..!

Gebruikersavatar
Berichten: 138

Re: Globaal minimum/maximum

Ik heb een korte vraag over extreme punten. Wanneer is een punt 'globaal'
Een functie
\(f\)
een globaal minimum in
\(x=0\)
, waar het globaal maximum ligt hangt af van de functiewaarden in
\(x=-3\)
en
\(x=3\)
.
"Quis custodiet ipsos custodes?" (Juvenalis)

Berichten: 17

Re: Globaal minimum/maximum

Filippus schreef:Een functie
\(f\)
bereikt een globaal maximum in
\(a\)
wanneer
\(f(a) \geqslant f(x)\)
voor alle
\(x\)
uit het domein van
\(f\)
. Analoog voor een globaal minimum.

Je bedoelt het waarschijnlijk wel goed maar je formulering is niet helemaal juist. Correct is: de functie
\(f\)
bereikt een locaal maximum in
\(x= -2\)
en een globaal minimum in
\(x = 0\)
.

Ook in
\(x = -3\)
en
\(x = 3\)
bereikt
\(f\)
extrema. Je kan zelf nagaan of dit lokale of globale extrema zijn.

In dit geval bereikt
\(f\)
een globaal minimum in
\(x=0\)
, waar het globaal maximum ligt hangt af van de functiewaarden in
\(x=-3\)
en
\(x=3\)
.
Oke super!

Dan weet ik denk ik genoeg..

De eindpunten f(-3) en f(3) zijn dus locale punten, omdat de globale maxima zich niet in het interval bevinden. bij f(-oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig en bij f(oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig..

Toch? of kan er maar één globaal maximum zijn en is er dus geen globaal maximum?

Gebruikersavatar
Berichten: 138

Re: Globaal minimum/maximum

De eindpunten f(-3) en f(3) zijn dus locale punten, omdat de globale maxima zich niet in het interval bevinden. bij f(-oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig en bij f(oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig..
Indien je als definitiegebied heel de verzameling van de reële getallen neemt, is er geen globaal maximum, en is er een globaal minimum in
\(x = 0\)
Toch? of kan er maar één globaal maximum zijn en is er dus geen globaal maximum?
Er kan altijd hoogstens 1 globaal maximum zijn en hoogstens 1 globaal minimum (het kan ook dat er géén globale extrema zijn).
"Quis custodiet ipsos custodes?" (Juvenalis)

Berichten: 17

Re: Globaal minimum/maximum

Filippus schreef:Indien je als definitiegebied heel de verzameling van de reële getallen neemt, is er geen globaal maximum, en is er een globaal minimum in
\(x = 0\)
. In
\(x=-3\)
en
\(x = 3\)
zijn er dan geen extrema. Een extremum is overigens altijd een reëel getal, je kan dus niet zeggen dat er een globaal maximum is in
\(x = + \infty\)
met als functiewaarde
\(+ \infty\)
. Naar
\(- \infty\)
toe is de limiet overigens niet
\(+ \infty\)
maar 0.

Als je als definitiegebied het interval [-3,3] neemt, zoals ik je vraagstelling interpreteerde, is er een lokaal minimum in
\(x = -3\)
en een globaal maximum in
\(x = 3\)
.

Er kan altijd hoogstens 1 globaal maximum zijn en hoogstens 1 globaal minimum (het kan ook dat er géén globale extrema zijn).
Oke!

Dus binnen een gesloten interval is er altijd een globaal minimum/maximum tenzij een functie horizontaal loopt of meer dan één minimum/maximum in het gesloten interval heeft?

Gebruikersavatar
Berichten: 138

Re: Globaal minimum/maximum

...of meer dan één minimum/maximum in het gesloten interval heeft?
Ook in dit geval is er een globaal minimum en een globaal maximum. De andere extrema zijn dan lokale extrema.
"Quis custodiet ipsos custodes?" (Juvenalis)

Berichten: 17

Re: Globaal minimum/maximum

Ook in dit geval is er een globaal minimum en een globaal maximum. De andere extrema zijn dan lokale extrema.
bedoelde hoogste/laagste maximum/minimum met eenzelfde waarde. Maar ik denk dat ik het begrijp.

Ik dank je zeer zeer hartelijk!

Morgen heb ik een tentamen. Nu denk ik alles te begrijpen ;) Super

Gebruikersavatar
Berichten: 138

Re: Globaal minimum/maximum

Ik dank je zeer zeer hartelijk!


Graag gedaan hoor. ;)
"Quis custodiet ipsos custodes?" (Juvenalis)

Reageer