Pagina 1 van 1
Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 16:41
door martijnol
Hallo!
Ik heb een korte vraag over extreme punten. Wanneer is een punt 'globaal'
Als voorbeeld: f(x) = e^x * X^2 ; Bereken de locale en globale extreme punten en buigpunten op het interval [-3, 3]
Om de extreme waarden te vinden, bereken je de eerste afgeleide:
e^x (x^2 + 2x)
e^x (x(x + 2)
----- -3 -2 -1 0 1 2 3
e^x +++++++++++++
x -------------0++++
x+2 -----0++++++++
f'(x) +++ 0----0++++
De functie heeft dus een LOCAAL maximum op f(x) = -2 en een GLOBAAL minimum op f(x) = 0
* Maar op het eindpunt van het interval.. Is dit dan ook een locaal maximum of niet.
* En stel dat dit het tekenschema van f'(x) was: ---0+++++ op interval [-3,3]. Wat is dan het globaal minimum/maximum of is deze er niet?
Zou heel mooi zijn als iemand deze vandaag nog zou kunnen beantwoorden..!
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 17:49
door Filippus
Ik heb een korte vraag over extreme punten. Wanneer is een punt 'globaal'
Een functie
\(f\)
een globaal minimum in
\(x=0\)
, waar het globaal maximum ligt hangt af van de functiewaarden in
\(x=-3\)
en
\(x=3\)
.
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 18:36
door martijnol
Filippus schreef:Een functie
\(f\)
bereikt een globaal maximum in
\(a\)
wanneer
\(f(a) \geqslant f(x)\)
voor alle
\(x\)
uit het domein van
\(f\)
. Analoog voor een globaal minimum.
Je bedoelt het waarschijnlijk wel goed maar je formulering is niet helemaal juist. Correct is: de functie
\(f\)
bereikt een locaal maximum in
\(x= -2\)
en een globaal minimum in
\(x = 0\)
.
Ook in
\(x = -3\)
en
\(x = 3\)
bereikt
\(f\)
extrema. Je kan zelf nagaan of dit lokale of globale extrema zijn.
In dit geval bereikt
\(f\)
een globaal minimum in
\(x=0\)
, waar het globaal maximum ligt hangt af van de functiewaarden in
\(x=-3\)
en
\(x=3\)
.
Oke super!
Dan weet ik denk ik genoeg..
De eindpunten f(-3) en f(3) zijn dus locale punten, omdat de globale maxima zich niet in het interval bevinden. bij f(-oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig en bij f(oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig..
Toch? of kan er maar één globaal maximum zijn en is er dus geen globaal maximum?
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 19:11
door Filippus
De eindpunten f(-3) en f(3) zijn dus locale punten, omdat de globale maxima zich niet in het interval bevinden. bij f(-oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig en bij f(oneindig) is er een globaal maximum van +oneindig..
Indien je als definitiegebied heel de verzameling van de reële getallen neemt, is er geen globaal maximum, en is er een globaal minimum in
\(x = 0\)
Toch? of kan er maar één globaal maximum zijn en is er dus geen globaal maximum?
Er kan altijd hoogstens 1 globaal maximum zijn en hoogstens 1 globaal minimum (het kan ook dat er géén globale extrema zijn).
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 20:00
door martijnol
Filippus schreef:Indien je als definitiegebied heel de verzameling van de reële getallen neemt, is er geen globaal maximum, en is er een globaal minimum in
\(x = 0\)
. In
\(x=-3\)
en
\(x = 3\)
zijn er dan geen extrema. Een extremum is overigens altijd een reëel getal, je kan dus niet zeggen dat er een globaal maximum is in
\(x = + \infty\)
met als functiewaarde
\(+ \infty\)
. Naar
\(- \infty\)
toe is de limiet overigens niet
\(+ \infty\)
maar 0.
Als je als definitiegebied het interval [-3,3] neemt, zoals ik je vraagstelling interpreteerde, is er een lokaal minimum in
\(x = -3\)
en een globaal maximum in
\(x = 3\)
.
Er kan altijd hoogstens 1 globaal maximum zijn en hoogstens 1 globaal minimum (het kan ook dat er géén globale extrema zijn).
Oke!
Dus binnen een gesloten interval is er altijd een globaal minimum/maximum tenzij een functie horizontaal loopt of meer dan één minimum/maximum in het gesloten interval heeft?
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 20:15
door Filippus
...of meer dan één minimum/maximum in het gesloten interval heeft?
Ook in dit geval is er een globaal minimum en een globaal maximum. De andere extrema zijn dan lokale extrema.
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 20:28
door martijnol
Ook in dit geval is er een globaal minimum en een globaal maximum. De andere extrema zijn dan lokale extrema.
bedoelde hoogste/laagste maximum/minimum met eenzelfde waarde. Maar ik denk dat ik het begrijp.
Ik dank je zeer zeer hartelijk!
Morgen heb ik een tentamen. Nu denk ik alles te begrijpen
Super
Re: Globaal minimum/maximum
Geplaatst: di 02 nov 2010, 21:35
door Filippus
Ik dank je zeer zeer hartelijk!
Graag gedaan hoor.
