Springen naar inhoud

Convergentetest voor reeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 16:11

Ik moet de volgende reeks testen op convergentie:

LaTeX

Ik dacht dit te doen met een vergelijkingstest (comparison test) en dan, met n groot genoeg, te vergelijken met de harmonische reeks 1/n:

LaTeX

(op Wikipedia wordt deze methode het 'majorantenkenmerk' genoemd)

Uit bovenstaande concludeer ik dat de reeks divergeert naar LaTeX , omdat de harmonische reeks 1/n ook divergeert naar LaTeX . Mag ik dit zo stellen? Zo nee, waarom niet? Het antwoord klopt, maar in mijn boek wordt een (ingewikkeldere) integraaltest gebruikt en ik wil graag weten of dit mag zo.

Alvast bedankt!

Edit: Spelfoutje in de titel, moet uiteraard 'convergentietest' zijn. ;)

Veranderd door Puntje, 03 november 2010 - 16:15


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 17:47

de harmonische reeks divergeert.

In je bericht toon je dat de termen van de reeks kleiner zijn dat deze van die divergente reeks

Dan kan je daar, volgens mij, niets uit besluiten. die rij zou kunnen ook divergeren, of..
als de termen klein genoeg zijn, convergeren
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 18:11

Bedankt voor je reactie. Het aantonen dat de termen kleiner zijn dan die van de harmonische reeks, dat is volgens mij de bedoeling van de comparison test. In mijn boek wordt dezelfde methode (vergelijking met harmonische reeks) gebruikt voor bijvoorbeeld de reeks LaTeX . Waarom gaat dit dan niet op voor de reeks die ik gaf in mijn eerste bericht? Alvast bedankt. ;)

Veranderd door Puntje, 03 november 2010 - 18:11


#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 18:19

voor positieve termen

Als aangetoond wordt dat de termen van een reeks GROTER zijn dan de overeenkomstige termen van een divergente reeks, dan is de reeks ook divergent.

Als aangetoond wordt dat de termen van een reeks KLEINER zijn dan de overeenkomstige termen van een convergente reeks, dan is de reeks convergent


Maak eens een figuurtje

Veranderd door Fernand, 03 november 2010 - 18:23

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#5

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 18:42

voorbeeld

voor n > 2

n > ln(n)

dus
1/n < 1/ln(n)

dus de temen van de reeks LaTeX zijn groter dan de overeenkomstige termen van de divergente harmonische reeks

Dus die reeks LaTeX is ook divergent

Veranderd door Fernand, 03 november 2010 - 18:42

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#6

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 21:02

Bedankt voor uitleg en voorbeelden. Als ik het goed begrijp dan gaat deze test dus niet op voor mijn voorbeeld. Aangezien LaTeX en dus LaTeX gaat die vergelijkingstest dus niet op omdat de termen niet groter zijn dan de overeenkomstige termen van een divergente reeks (bijv. harmonische reeks). En daarom kan niks gezegd worden over de eventuele divergentie van die reeks op deze manier.

Hoe zou je het dan wel aanpakken met mijn voorbeeld?

Veranderd door Puntje, 03 november 2010 - 21:03


#7

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 21:20

Je redenering is nu correct.

Ik heb al eens gezocht naar een oplossing voor die opgave maar ik weet het voorlopig niet.

Hangt er ook vanaf welke middelen je gezien hebt om een convergeren of divergeren aan te tonen
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#8

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 21:45

Ik denk dat het kan aangetoond worden met de integraal test

Je moet starten met de functie

f(x) = 1/(x ln(x) sqrt(ln(ln(x)) )

en dan LaTeX

de integraal is niet te moeilijk te berekenen en vermoedelijk is de reeks divergent

Veranderd door Fernand, 03 november 2010 - 22:00

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#9

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 22:39

De integraaltest luidt hier volgens mij als volgt:

LaTeX

Dit is een oneigenlijke intergraal van type I.

Substitutie LaTeX geeft:

LaTeX

Dus hij divergeert naar LaTeX . Is dit een juiste berekening? Ik ben kwa integreren ook nog niet echt gevorderd namelijk.

Veranderd door Puntje, 03 november 2010 - 22:43


#10

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 22:44

Dat ziet er goed uit.

Dus de reeks is divergent

Ik heb ook een en ander bijgeleerd vanavond !!

Veranderd door Fernand, 03 november 2010 - 22:48

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#11

Puntje

    Puntje


  • >250 berichten
  • 316 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2010 - 23:38

Ik weet overigens niet of het nodig is om de divergentie van de harmonische reeks LaTeX nog aan te tonen. Ik denk dat dat gewoon een algemeen gegeven is maar je weet het nooit op een tentamen ofzo. Anders kan dat volgens mij ook eenvoudig aangetoond worden via de integraal test:

LaTeX

Ik denk dat dit ook een juiste bepaling is van de divergentie?

Veranderd door Puntje, 03 november 2010 - 23:48


#12

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2010 - 11:24

Ik denk dat dit ook een juiste bepaling is van de divergentie?


Het begrip divergentie van een reeks wordt gewoonlijk gedefinieerd via de rij der partieelsommen.


Een reeks heet divergent als de rij der partieelsommen divergeert
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2010 - 13:18

Ik denk dat dit ook een juiste bepaling is van de divergentie?

Ja hoor, je kan de integraaltest toepassen op de harmonische reeks.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures