\( \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{k}{2^k} \right)=2-(n-2)2^{-n}\)
Ik weet dat
\( \sum_{k=0}^{n}k =\frac{n(n-1)}{2}\)
en dat \( \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2^k} \right)= 2-2^{-n}\)
maar weet niet goed hoe ik hieraan moet beginnen...?
Laatste berichten
-
11:52
Gravity and gravitation
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Som
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 581
Re: Som
Inderdaad, moest + ipv - zijn:(overigens zie ik niet hoe die relatie waar is.)
\( \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{k}{2^k} \right)=2-(n+2)2^{-n}\)
Inductie kan natuurlijk, maar daar moet je natuurlijk wel het antwoord op voorhand 'vermoeden'. Ik was in feite op zoek naar een methode om zelf de antwoorden op gelijkaardige problemen te kunnen 'vinden'. Bvb op
\( \sum_{k=0}^{n} \left( k \cdot (2^k) \right)=? \)
---WAF!---
-
- Berichten: 368
Re: Som
Kan een vermoeden niet komen door achtereenvolgens de som te berekenen voorInductie kan natuurlijk, maar daar moet je natuurlijk wel het antwoord op voorhand 'vermoeden'.
n=1, 2, 3, 4, 5 , en 6
en dan in die resultaten een regelmaat te ontdekken.
en daarna het vermoeden te staven door volledige inductie
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 581
Re: Som
Ja, natuurlijk, dat had ik moeten weten (was dat al 's tegengekomen maar had het hier niet direct door)Differentieer beide kanten naar r.
Ik heb de 2 identiteiten kunnen bewijzen door r gelijk te stellen aan 2 of aan 1/2. Bedankt.
Dat lukt mij niet direct... alhoewel ik er wel een regelmaat in zie:Fernand schreef:Kan een vermoeden niet komen door achtereenvolgens de som te berekenen voor
n=1, 2, 3, 4, 5 , en 6
en dan in die resultaten een regelmaat te ontdekken.
\( 0, \frac{1}{2}, \frac{4}{4}, \frac{11}{8}, \frac{26}{16}, \frac{57}{32}, \frac{120}{64}, \frac{247}{128}, \frac{502}{256}, \ldots\)
(het verschil tussen de tellers is dat telkens 1 minder dan een macht van 2 en de noemer is telkens een macht van 2)Maar ik kan daar zo geen formule aan vastplakken...
---WAF!---
-
- Berichten: 368
Re: Som
Inderdaad, dat ziet er in dit geval moeilijk uitWesty schreef:Dat lukt mij niet direct... alhoewel ik er wel een regelmaat in zie:
\( 0, \frac{1}{2}, \frac{4}{4}, \frac{11}{8}, \frac{26}{16}, \frac{57}{32}, \frac{120}{64}, \frac{247}{128}, \frac{502}{256}, \ldots\)
Het enige dat ik daarvoor gevonden heb is een recursieformule
Noem S(n) die som
S(0) = 0
voor n > 0 geldt
S(n) = 1+ S(n-1)/2 - 2^(-n)
Dit is maar een schamele troost , het is een differentievergelijking maar ze is niet lineair.
Misschien is het voor andere sommen eenvoudiger ....
Er zal wel geen algemeen geldende methode te vinden zijn.
succes
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 368
Re: Som
Toch iets gevonden, maar natuurlijk juist voor die bepaalde som
Deze kan je optellen tot een som.
Dan krijg je n sommen.
In de som van die sommen staat opnieuw een meetkundige rij en die tel je ook op.
Tenslotte vind je
Som =
\( \sum_{k=0}^{n} \left( k \cdot (2^{-k}) )\)
Schrijf de termen van die som term per term (0 laten we weg)\( 2^{-1} \)
\( 2^{-2} + 2^{-2} \)
\( 2^{-3} + 2^{-3} + 2^{-3} \)
\( \ldots \)
\( 2^{-n} + 2^{-n} + 2^{-n} + 2^{-n}+ \ldots + 2^{-n} \)
In de kolommen onstaan termen van een meetkundige rij.Deze kan je optellen tot een som.
Dan krijg je n sommen.
In de som van die sommen staat opnieuw een meetkundige rij en die tel je ook op.
Tenslotte vind je
Som =
\( 2 - 2^{1-n} - n 2^{-n} \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 581
Re: Som
Deze methode werkt goed en is zeer mooi. Bedankt.Fernand schreef:Tenslotte vind je
Som =\( 2 - 2^{1-n} - n 2^{-n} \)
Ik kan op deze wijze ook bvb
\( \sum_{k=0}^{n} \left( k \cdot (2^k) \right)=2+(n-1) \cdot 2^{n-1} \)
bewijzen op een andere methode dan degene die Evilbro aangaf (Differentieren van machtreeksen).Leuk.
---WAF!---
