Taylorbenadering

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 412

Taylorbenadering

Hallo!

Een Taylorbenadering lukt me niet.

Functie is:
\(\left( \sqrt{x + l^2} - l \right)^2 \)
Eerste afgeleide laten nakijken door Wolfram Alpha, die is juist. De tweede is deze volgens mij:
\( 2 - \frac{2l}{x^2 + l^2} + \frac{2 x^2l}{(x^2 + l^2)^{3/2}}\)
Nu moet de Taylorbenadering 0 geven tot de vierde orde. Probleem: hoe geeft het bovenstaande 0? Ik kom altijd 2 - 2/l uit...

Iemand een tip?
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Taylorbenadering

Nu moet de Taylorbenadering 0 geven tot de vierde orde.


Waarom denk je dat? Wolfram

Berichten: 412

Re: Taylorbenadering

Waarom denk je dat? Wolfram
Omdat dat als oplossing gegeven werd ;)

Trouwens, bij Wolfram Alpha: die eerste twee termen die moeten toch 0 zijn he? Want die worden daar niet meteen weergegeven als 0?

Is mijn oplossing wél juist dan?
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Taylorbenadering

Werk
\((\sqrt{x + l^2}-l)^2\)
eens uit en probeer het dan nog eens.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Taylorbenadering

Is mijn oplossing wél juist dan?
Ik denk niet dat je 2de afgeleide klopt. Laat eens enkele tussenstappen zien, dan kunnen we tonen waar het evt fout gaat...
---WAF!---

Berichten: 412

Re: Taylorbenadering

Ik heb, zoals mathreak zei, eerst de functie die ik wil benaderen uitgewerkt. Dit geeft:
\((\sqrt{x^2 + l^2} - l)^2 = x^2 + l^2 - 2 \sqrt{x^2 + l^2} l + l^2\)
Als ik hiervan de eerste afgeleide bereken, dan geeft dit:
\( 2x - \frac{2lx}{\sqrt{x^2 + l^2}} \)
Dan de tweede afgeleide berekenen:
\( 2 - \frac{(2lx)' \sqrt{x^2 + l^2} - 2lx (\sqrt{x^2 + l^2})'}{x^2 + l^2}\)
Dit verder uitwerken levert:
\( 2 - \frac{2l}{\sqrt{x^2 + l^2}} + \frac{2lx^2}{(x^2 + l^2)^{3/2}}\)
Nu moeten (volgens de oplossing van de oefening) alle termen tot de vierde orde gelijk zijn aan 0. Ik zie niet hoe ik die 2de afgeleide ooit gelijk kan krijgen aan 0. Want als je x = 0 invult, blijf je als ik correct ben over met 2 - 2/l.

Bedankt voor alle reacties trouwens!
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Taylorbenadering

Laura. schreef:Ik heb, zoals mathreak zei, eerst de functie die ik wil benaderen uitgewerkt. Dit geeft:
\((\sqrt{x^2 + l^2} - l)^2 = \)
Oeps, hier gebruik je een andere opgave dan die in je eerste topic:
\(\left( \sqrt{x + l^2} - l \right)^2 \)
Dat verandert natuurlijk een en ander...

Welk is de juiste?
---WAF!---

Berichten: 412

Re: Taylorbenadering

Westy schreef:Oeps, hier gebruik je een andere opgave dan die in je eerste topic:
\(\left( \sqrt{x + l^2} - l \right)^2 \)
Dat verandert natuurlijk een en ander...

Welk is de juiste?
Oh, sorry!
\(\left( \sqrt{x^2 + l^2} - l \right)^2 \)
is de juiste
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Taylorbenadering

Laura. schreef:Dan de tweede afgeleide berekenen:
\( 2 - \frac{(2lx)' \sqrt{x^2 + l^2} - 2lx (\sqrt{x^2 + l^2})'}{x^2 + l^2}\)
Dit verder uitwerken levert:
\( 2 - \frac{2l}{\sqrt{x^2 + l^2}} + \frac{2lx^2}{(x^2 + l^2)^{3/2}}\)
In deze uitwerking ben jke ergens een min-teken kwijtgespeeld, zie je waar?

Je kan ze nog sterk vereenvoudigen door de 2de en de 3de term op gelijke noemer te zetten, dan valt er wat weg...
---WAF!---

Berichten: 412

Re: Taylorbenadering

Westy schreef:In deze uitwerking ben jke ergens een min-teken kwijtgespeeld, zie je waar?

Je kan ze nog sterk vereenvoudigen door de 2de en de 3de term op gelijke noemer te zetten, dan valt er wat weg...
Over het minteken: nee... Ik zie maar drie plaatsen waar dat kan, en het enige minteken dat daar in een plus veranderd is, komt doordat er een minteken voor de breukstreep staat, dus dat is het niet?

Op zelfde noemer plaatsen:
\(2 - \frac{2l^3}{(x^2 + l^2)^{3/2}}\)
Hierin x = 0 invullen geeft 2 - 2 = 0. Bedankt! ;)

Ik vind het wel héél vreemd dat het eerder in de uitwerking dan géén nul gaf... Mijn beperkt "wiskundig gevoel" kan dat niet vatten vrees ik ;)
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Taylorbenadering

Over het minteken: nee... Ik zie maar drie plaatsen waar dat kan, en het enige minteken dat daar in een plus veranderd is, komt doordat er een minteken voor de breukstreep staat, dus dat is het niet?
Klopt, ik had niet goed gekeken bij dat op gelijke noemer zetten...

Je verdere uitwerking is absoluut juist:
\(2 - \frac{2l^3}{(x^2 + l^2)^{3/2}}\)
Ik vind het wel héél vreemd dat het eerder in de uitwerking dan géén nul gaf... Mijn beperkt "wiskundig gevoel" kan dat niet vatten vrees ik ;)
Gewoon een foutje gemaakt misschien, kan iedereen overkomen... ;)

PS Voor wat staat die L in jouw formule? want als die negatief is, wordt de verdere uitwerking dan toch weer niet nul, maar 4? (in de teller blijft ze negatief tgv de derde macht, maar in de noemer wordt ze positief tgv dat kwadraat...). Maw de getalwaarde voor 0 van de 2de afgeleide hangt af van het teken van L!
---WAF!---

Berichten: 412

Re: Taylorbenadering

Westy schreef:Klopt, ik had niet goed gekeken bij dat op gelijke noemer zetten...

Je verdere uitwerking is absoluut juist:

Gewoon een foutje gemaakt misschien, kan iedereen overkomen... ;)

PS Voor wat staat die L in jouw formule? want als die negatief is, wordt de verdere uitwerking dan toch weer niet nul, maar 4? (in de teller blijft ze negatief tgv de derde macht, maar in de noemer wordt ze positief tgv dat kwadraat...). Maw de getalwaarde voor 0 van de 2de afgeleide hangt af van het teken van L!
l Stelt (gelukkig) een lengte voor en is dus positief ;)
Vroeger Laura.

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Taylorbenadering

Dan klopt alles, en geven de eerste termen van de ontwikkeling inderdaad 0.

Succes verder.
---WAF!---

Berichten: 412

Re: Taylorbenadering

Westy schreef:Dan klopt alles, en geven de eerste termen van de ontwikkeling inderdaad 0.

Succes verder.


Dank u voor de hulp!
Vroeger Laura.

Reageer