Elementaire functies

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 14-11-'10, 18:47

Darkwar

Berichten: 110

Elementaire functies

Hallo aan het einde van elk hoofdstuk Analyse worden er enkele vragen gesteld, nu zit ik nog met 2 onopgeloste vragen

1) Bewijs dat sec2x + csc2x = sec2x.csc2x.

wat ik dus weet is dat

sec(x) = 1 /cos(x)

csc(x) = 1/ sin(x)

vul ik die gegevens in één van de leden in of moet ik een techniek gebruiken zoals afleiden ofzo....?

2) Bepaal de afgeleide functie van y =sec(x) en van y = arcsex(x).

a) y =sec(x)

ik maak gebruik van de quotiëntregel bij afleiden:

y =sec(x) = 1 / cos(x)

f'(x) =( (0)(cos(x))- (1) (-sin(x))) / (cos2(x))

f'(x) =sin(x) /(cos2(x)= sec(x).tan(x)

b) y =arcsec(x)

ik denk dat ik gebruik moet maken van de inversieregel:

D f-1 (x) = 1/ ( D f (f-1 (x))

indien ik deze regel toepas:

D (arcsec(x)) =
\(\frac{1}{Dsec(arcsec(x))}\)
D (arcsec(x)) =
\(\frac{1}{tan(x).sec(x).arcsec(x)}\)
en hoe moet ik nu verder?
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 19:41

Prot

Berichten: 478

Re: Elementaire functies

Moet je het d.m.v afgeleiden bewijzen? Want het kan ook via de goniometrie?

Te bewijzen is dat:
\( \sec²x+\cosec²x=\sec²x.csec²x\)
Inderdaad zoals je zegt:
\( \sec x=\frac{1}{\cos x}\)
\( csec x=\frac{1}{\sin x}\)
Ingevuld:
\( (\frac{1}{\cos x})^2+(\frac{1}{\sin x})²= (\frac{1}{\cos x})^2.(\frac{1}{\sin x})²\)
Probeer in het RL op gelijke noemer te zetten.

(b)

Je moet de afgeleide berekenen van:
\(y=arc\sec x\)
Vertrek vanuit de definitie van een cyclometrische functie:
\(y=arc\sec x \Leftrightarrow \sec y=x\)
Bereken nu de afgeleide van:
\( x=\sec y\)
Zo zou ik het doen, misschien een bevestiging van anderen.
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 20:02

Darkwar

Berichten: 110

Re: Elementaire functies

Prot schreef:Moet je het d.m.v afgeleiden bewijzen? Want het kan ook via de goniometrie?

Te bewijzen is dat:
\( \sec²x+\cosec²x=\sec²x.csec²x\)
Inderdaad zoals je zegt:
\( \sec x=\frac{1}{\cos x}\)
\( csec x=\frac{1}{\sin x}\)
Ingevuld:
\( (\frac{1}{\cos x})^2+(\frac{1}{\sin x})²= (\frac{1}{\cos x})^2.(\frac{1}{\sin x})²\)
Probeer in het RL op gelijke noemer te zetten.

(b)

Je moet de afgeleide berekenen van:
\(y=arc\sec x\)
Vertrek vanuit de definitie van een cyclometrische functie:
\(y=arc\sec x \Leftrightarrow \sec y=x\)
Leidt nu af dit af:
\( x=\sec y\)
Zo zou ik het doen, misschien een bevestiging van anderen.
=
\(\frac{1}{cos^{2}(x)}+ \frac{1}{sin^{2}(x)}\)
=
\(\frac{sin^{2}(x) + cos^{2}(x)}{sin^{2}(x).cos^{2}(x)}\)
=
\(\frac{1}{sin^{2}(x).cos^{2}(x)}\)
=
\(sec^{2}(x).csc^{2}(x)}\)
einde bewijs

ok deze oefening is echt niet moeilijk ;)
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 20:11

Prot

Berichten: 478

Re: Elementaire functies

Darkwar schreef:=
\(\frac{1}{cos^{2}(x)}+ \frac{1}{sin^{2}(x)}\)
=
\(\frac{sin^{2}(x) + cos^{2}(x)}{sin^{2}(x).cos^{2}(x)}\)
=
\(\frac{1}{sin^{2}(x).cos^{2}(x)}\)
=
\(sec^{2}(x).csc^{2}(x)}\)
einde bewijs

ok deze oefening is echt niet moeilijk ;)
Inderdaad ;)

Ben je al tot een conclusie gekomen i.v.m de afgeleide van arcsec x?

Je afgeleide van y=secx klopt bijna. Vergeet alleen niet dat je een minteken vergeten bent want als je 1/cos x afleidt krijg je: -sinx/cos²x.
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 20:25

Darkwar

Berichten: 110

Re: Elementaire functies

Prot schreef:Inderdaad ;)

Ben je al tot een conclusie gekomen i.v.m de afgeleide van arcsec x?

Je afgeleide van y=secx klopt bijna. Vergeet alleen niet dat je een minteken vergeten bent want als je 1/cos x afleidt krijg je: -sinx/cos²x.
Afbeelding
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 20:27

Prot

Berichten: 478

Re: Elementaire functies

Afbeelding
Gewist
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 20:32

Darkwar

Berichten: 110

Re: Elementaire functies

Prot schreef:Klopt ;)

Succes ermee.
Weet je toevallig hoe ik hier te werk ga, of welke beslissingstechnieken ze hiermee insinueren?

3) Bepaal alle primitieven van arcsec door gebruik te maken van partiële integratie

4) Bepaal de maclaurinveelterm van de zesde graad voor sec x ZONDER gebruik te maken van de opeenvolgende afgeleiden van sec x in nul.

moet je hier dan taylor gebruiken?
Omhoog

Bericht 14-11-'10, 21:16

Darkwar

Berichten: 110

Re: Elementaire functies

Darkwar schreef:Weet je toevallig hoe ik hier te werk ga, of welke beslissingstechnieken ze hiermee insinueren?

3) Bepaal alle primitieven van arcsec door gebruik te maken van partiële integratie

Afbeelding

nu moet er ergens een fout inzitten maar ik weet niet direct wat?

mss in mijn subsitutie?

alvast bedankt

4) Bepaal de maclaurinveelterm van de zesde graad voor sec x ZONDER gebruik te maken van de opeenvolgende afgeleiden van sec x in nul.

moet je hier dan taylor gebruiken?
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 00:23

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Elementaire functies

Er is inderdaad iets mis in dat stukje met de substitutie:

als
\(2x \cdot dx=da\)
dan is
\( dx = \frac{da}{2x}\)
je vergeet die x in de noemer...

De beste methode om deze integraal op te lossen is met goniometrische substititie, nl. stel
\( x = sec t \)
probeer eens of je daar verder mee komt?

PS: ik merk dat er iets meer naar boven ook iets fout is:
\( \frac{\arcsec{x}}{dx}=\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\)
en dat is niet helemaal hetzelfde als wat met wat jij schrijft, want
\(\frac{x}{|x|}=\pm 1\)
alnaargelang het teken van x...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 11:15

Darkwar

Berichten: 110

Re: Elementaire functies

Westy schreef:Er is inderdaad iets mis in dat stukje met de substitutie:

als
\(2x \cdot dx=da\)
dan is
\( dx = \frac{da}{2x}\)
je vergeet die x in de noemer...

De beste methode om deze integraal op te lossen is met goniometrische substititie, nl. stel
\( x = sec t \)
probeer eens of je daar verder mee komt?

PS: ik merk dat er iets meer naar boven ook iets fout is:
\( \frac{\arcsec{x}}{dx}=\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\)
en dat is niet helemaal hetzelfde als wat met wat jij schrijft, want
\(\frac{x}{|x|}=\pm 1\)
alnaargelang het teken van x...
Voor de goniometrische substitutie:

Afbeelding

heb ik de arcsec nu zoals bovenstaand vervangen maar ik weet niet indien dit echt klopt

Voor de gewone substitutie : versta ik niet wat ik nu moet nemen als u en du: of is dit een speciale integraal?

Afbeelding
PS: ik merk dat er iets meer naar boven ook iets fout is:
\( \frac{\arcsec{x}}{dx}=\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\)
en dat is niet helemaal hetzelfde als wat met wat jij schrijft, want
\(\frac{x}{|x|}=\pm 1\)
alnaargelang het teken van x...
En in welke stap moet je concluderen dat je de absolute waarde van die x neemt dan?

alvast bedankt!
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 11:50

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Elementaire functies

Met gewone substitutie zoals
\( a=x^2-1 \)
zal het hier niet lukken.

Jij hebt
\( \int \frac{da}{x \sqrt{a}} \)
en als je daarin die x ook nog substitueert (je moet elke x substitueren, anders kan je niet verder) , dan ben je terug bij af...

Goniometrische subtitutie, ik begrijp niet goed wat je allemaal schrijft, vanwaar dat komt. Ik zal het even voordoen:

stel
\( x = \sec{t} \)
dan is inderdaad
\( dx= \sec{t} \tan{t} \cdot dt \)
; vergeet die dt niet, die heb je seffes nodig!

maar dan is ook
\( \sqrt{x^2-1}=\tan{t} \)
(dit volgt uit
\( \sin^2{x}+\cos^2{x}=1 \)
, delen door
\( \cos^2x \)
en je bent er).

Als je dit alles substitueert , welke integraal krijg je dan? Lukt dit?

Ivm die absolute waarde, die zit al vervat in de afgeleide van arcsec(x), dus je moet er vanaf dan (bij je eerste partiele integratie dus) rekening mee houden dat het teken voor je integraal niet noodzakelijk
\( - \)
is, maar afhangt van het teken van x...
---WAF!---
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 12:11

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Elementaire functies

OEI!

Ik zie nu plots dat er in een vorige post iets ontbrak (was misgelopen met de latex code...)

Er mocht niet staan:
\( \frac{\arcsec{x}}{dx}=\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\)
maar natuurlijk
\( \frac{d \left(Arcsec(x) \right)}{dx}=\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{x^2-1}}\)
Dat zal iets duidelijker zijn, hoop ik...

sorry
---WAF!---
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 12:31

Darkwar

Berichten: 110

Re: Elementaire functies

Westy schreef:Met gewone substitutie zoals
\( a=x^2-1 \)
zal het hier niet lukken.

Jij hebt
\( \int \frac{da}{x \sqrt{a}} \)
en als je daarin die x ook nog substitueert (je moet elke x substitueren, anders kan je niet verder) , dan ben je terug bij af...

Goniometrische subtitutie, ik begrijp niet goed wat je allemaal schrijft, vanwaar dat komt. Ik zal het even voordoen:

stel
\( x = \sec{t} \)
dan is inderdaad
\( dx= \sec{t} \tan{t} \cdot dt \)
; vergeet die dt niet, die heb je seffes nodig!

maar dan is ook
\( \sqrt{x^2-1}=\tan{t} \)
(dit volgt uit
\( \sin^2{x}+\cos^2{x}=1 \)
, delen door
\( \cos^2x \)
en je bent er).

Als je dit alles substitueert , welke integraal krijg je dan? Lukt dit?

Ivm die absolute waarde, die zit al vervat in de afgeleide van arcsec(x), dus je moet er vanaf dan (bij je eerste partiele integratie dus) rekening mee houden dat het teken voor je integraal niet noodzakelijk
\( - \)
is, maar afhangt van het teken van x...
ahzo nu versta ik het van dat teken!

ivm die integraal, ik versta niet hoe je door substiutie van x= sec(t) , een arcsec(t) kunt bekomen? mss zie ik iets simpels over het hoofd, in alle geval hieronder de integraal die ik bekom, ...

Afbeelding
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 12:59

Westy

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Elementaire functies

Nu ga je wat te snel door de bocht, misverstand:

je eerste stap (partiele integratie) was goed:
\( \int Asec(x) dx = x \cdot Asec(x) \pm \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \)
(die
\( \pm \)
is dus een gevolg van die absolute waarde, hangt dus af van teken van x)

Om die 2de integraal op te lossen heb je die goniom.subst. nodig,

je moet dus
\( dx \)
en
\( \sqrt{x^2-1} \)
substitueren naar t zodat alle x'en verdwenen zijn.

en tweede integraal zou moeten geven:
Verborgen inhoud
\( \int sec(t) dt \)
; en dat is een basisintegraal die je zou moeten kennen?


(Ik moet nu weg tot vanavond laat)

Lukt het zo verder?
---WAF!---
Omhoog

Bericht 15-11-'10, 13:23

oktagon

Berichten: 4.502

Re: Elementaire functies

Zou het volgende een mogelijkheid zijn:

sec2x + csc2x = sec2x * csc2x.

sec2x * csc2x. ................ ..........................sec2x * csc2x.

____________________ plus _________________________________



sec2x..........................................................csc2x

= sec2x + csc2x

Bovenstaande vergelijking klopt niet met het gebruik maken van exp. getallen: 32 + 82 =ongelijk aan 32 * 82 = ongelijk aan 9*64



Wel met wortelgetallen: 30.5 + 80.5 = 30.5 * 80.5 =4,56 ;





Hier zit dus blijkbaar een rekenkundig Fibonacci-foefje (axioma?) in verborgen.

Maar de eerst vermelde goniom.functies zijn verkleiningsfactoren in gelijkvormige driehoeken en dan moet het blijkbaar wel kloppen tenzij er aan mijn opstelling iets niet deugt ;)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”