Springen naar inhoud

Pi


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 13:41

Waarom zien wetenschappers ;) als een constante? Ondanks het feit dat men dit getal tot op zeer grote nauwkeurigheid heeft kunnen bepalen, blijf ik me deze vraag stellen.

Het ziet er naar uit dat we ;) nooit zullen kunnen berekenen, nog niet met de beste technologie voor hande.

Hoe kan je dan zeggen dat :) bestaat? Kan je van iets oneindigs zeggen dat het bestaat? Kun je daar 100% zeker van zijn? Hoe kan het bestaan van een cirkel, waarvan :) is afgeleid, dan ooit bewezen worden?

Of is dit allemaal theoretisch? Ik ben niet echt bekend met het onderwerp, net daarom vroeg ik het me af.

Allicht is er een redenering die ik nog niet gehoord heb die betrekking heeft hierop...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2010 - 13:51

pi is per definitie de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Dat die ratio constant is, is aan te tonen.

Hoe kan je dan zeggen dat ;) bestaat? Kan je van iets oneindigs zeggen dat het bestaat? Kun je daar 100% zeker van zijn? Hoe kan het bestaan van een cirkel, waarvan ;) is afgeleid, dan ooit bewezen worden?


Pi is niet oneindig, maar wat jij bedoelt is dat pi een oneindig aantal decimalen kent, zonder dat hier een patroon in zit. Dat is een kenmerk van de rationele getallen. Wortel 2 heeft ook een oneindig aantal decimalen, maar daar lijk je je niet druk over te maken.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 14:04

Dat van die wortel 2 daar was ik me wel bewust van hoor. Ik vind het gewoon merkwaardig dat iets met een oneindig aantal decimalen toch als constante wordt gezien. Je kan dat getal in principe toch niet berekenen als je niet weet hoeveel cijfers na de komma het heeft.
Maar goed, wie ben ik om een wiskundige conventie in vraag te stellen

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 november 2010 - 14:27

Dat van die wortel 2 daar was ik me wel bewust van hoor. Ik vind het gewoon merkwaardig dat iets met een oneindig aantal decimalen toch als constante wordt gezien.

Dit was nu precies waar de oude Grieken ook mee zaten.
Toen duidelijk werd dat sqrt(2) geen rationaal getal was, hield men dat zelfs geheim.

Nu wel duidelijk is sqrt(2) gewoon een getal is maar niet als breuk te schrijven, schrijven we (om het kort te houden) sqrt(2) exact. Maar in toepassingen kiezen we voor een (te kiezen) aantal decimalen naar gelang van de gewenste nauwkeurigheid.
Om dezelfde reden gebruiken we pi als verkorte notatie.

#5

Wouter_Masselink

    Wouter_Masselink


  • >5k berichten
  • 8252 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2010 - 15:44

of een getal een oneindig aantal decimalen bevat heeft niks te maken met het al dan niet constant zijn van deze waarde. Ik zie het probleem dan ook niet
"Meep meep meep." Beaker

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 november 2010 - 16:52

Dat van die wortel 2 daar was ik me wel bewust van hoor. Ik vind het gewoon merkwaardig dat iets met een oneindig aantal decimalen toch als constante wordt gezien. Je kan dat getal in principe toch niet berekenen als je niet weet hoeveel cijfers na de komma het heeft.
Maar goed, wie ben ik om een wiskundige conventie in vraag te stellen

Dat is omdat die getalrepresentatie helemaal niet belangrijk is. Als ik zeg dat jij nu a appels van 100g in je hand hebt, dan kan ik perfect uitrekenen hoeveel gram appels je in je hand hebt, namelijk a x 100g. Dat is volledig juist en consistent. Ik weet niet hoeveel cijfers na de komma a heeft, maar dat maakt niets uit voor mijn berekening.

Idem dito kan ik nu zeggen dat als jij een cirkel met straal 3 in je hand hebt, dat de omtrek van die cirkel 3 x Pi is. Ik weet niet hoeveel cijfers na de komma Pi heeft, maar dat maakt niets uit voor mijn berekening.

Je zou jezelf eigenlijk net zo goed de vraag kunnen stellen of 1/3 wel altijd 1/3 is, want je kent het aantal cijfers na de komma ook niet.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#7


  • Gast

Geplaatst op 17 november 2010 - 17:39

Dat getallen met oneindig veel decimalen bestaan, is aantoonbaar door een pizza van 100 g in drie precies gelijke delen te snijden. Alle delen wegen dan 33,33333333333333 (ingekort door moderator om ruimte te sparen op internet) gram en smaken nog steeds hetzelfde als de hele pizza. Heb je de drie delen op, dan heb je precies hetzelfde gevoel als wanneer je de pizza zonder snijden had opgegeten.

Het feit dat 100/3 oneindig veel decimalen heeft lijkt onmogelijk, maar wordt eigenlijk veroorzaakt door de keuze van het grondtal 10 voor onze weergave van getallen. Zouden we in plaats daarvan 3 hebben genomen als grondtal dan zou de hele pizza een oneindig aantal cijfers achter de komma hebben, en de drie stukken zouden 'gehele getallen' zijn.

Zouden we de omtrek van een cirkel hebben genomen als eenheid, dan zou het getal pi een geheel getal zijn. Maar door in het verleden gemaakte keuzes hebben sommige getallen met een heel gewone betekenis een schijnbaar onmogelijke waarde gekregen.

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2010 - 18:00

Hoe kan je dan zeggen dat ;) bestaat? Kan je van iets oneindigs zeggen dat het bestaat?

Kun je zeggen dat het getal 5 bestaat?

Je kan dat getal in principe toch niet berekenen als je niet weet hoeveel cijfers na de komma het heeft.

Maar dat weten we wel, namelijk: oneindig veel.

Wat valt er te "berekenen" aan pi? Als je het probeert uit te drukken in decimale getallen, ja, dan bereken je een benadering, en die wordt nauwkeuriger naarmate je meer decimalen berekent. Maar de waarde van pi zelf is exact bekend.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 17 november 2010 - 20:00

Mensen toch!

Skyliner stelt een goede vraag. Zonder dat ze het vaak zelf door hebben zijn de meeste exacte wetenschappers in wiskundige zin platonisten. Dat men in wiskundig opzicht platonist is geeft niets, zolang men maar beseft dat er andere visies mogelijk zijn. Als je dat niet beseft lijken vragen zoals die van Skyliner zinloos.

Voor een wijsgerig serieuze behandeling van het al dan niet bestaan van getallen zoals pi zou men zich in de wijsgerige discussies rond het intuÔtionisme, constructivisme en (ultra)finitisme moeten verdiepen. Ook het subtiele verschil tussen het potentieel en actueel oneindige speelt hier een rol.

#10

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 8936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2010 - 20:42

Allemaal leuk en aardig, maar het leidt af van het werkelijke probleem: namelijk dat de TS kennelijk onder de indruk is dat het getal pi is bepaald, en daar is helemaal geen sprake van.

Het getal pi geeft een relatie tussen bepaalde zaken, zoals de omtrek en de diameter van een cirkel. En het getal duikt in allerlei andere verbanden op. Uitgaande van die verbanden kan men het getal berekenen in een willekeurig aantal decimalen, maar ook zonder die berekening is pi een constante. De waarde hangt niet af van de tijd, noch van welke andere variabele dan ook.

Daar kun je oneindig lang over discussiŽren, maar dat verandert niets aan de situatie.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#11

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 17 november 2010 - 20:57

Daar kun je oneindig lang over discussiŽren, maar dat verandert niets aan de situatie.


Dat bedoel ik: wiskundig platonisme.

Als je de wiskunde als een zuiver menselijk bouwwerk ziet is er gťťn situatie onafhankelijk van de wiskundige objecten die (op gegeven moment) concreet kunnen worden geconstrueerd.

#12


  • Gast

Geplaatst op 18 november 2010 - 11:47

namelijk dat de TS kennelijk onder de indruk is dat het getal pi is bepaald, en daar is helemaal geen sprake van.

Is in overeenstemming met wat TS stelt, nl. dat we pi nooit exact zullen kunnen berekenen. Rogier daarentegen stelt dat pi precies bekend is. Wie heeft er gelijk? Of hebben we het nu over een kwestie van representatie?

Volgens mij is van elk getal achter de komma de waarde te berekenen mits we genoeg computertijd hebben. Dat wil zeggen dat we de waarde wel degelijk kennen binnen elke menselijke nauwkeurigheid. Analoog aan de breuk 1/3, we weten welke waarde elk getal achter de komma heeft (3) alleen we kunnen ze nooit allemaal opnoemen.

#13

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 18 november 2010 - 13:00

Volgens mij is van elk getal achter de komma de waarde te berekenen mits we genoeg computertijd hebben. Dat wil zeggen dat we de waarde wel degelijk kennen binnen elke menselijke nauwkeurigheid. Analoog aan de breuk 1/3, we weten welke waarde elk getal achter de komma heeft (3) alleen we kunnen ze nooit allemaal opnoemen.


Dat kan niet kloppen: er zijn overaftelbaar oneindig veel reŽle getallen, en maar aftelbaar oneindig veel eindige computerprogramma's (met een eindig alfabet).


Bovendien:

Je kan getallen definiŽren waarvan je (voorlopig) geen enkele decimaal achter de komma kunt berekenen. Neem een zeker wiskundig vermoeden V dat nog niet beslist is, en wellicht nooit beslist zal worden. Nu definiŽren we het getal G als:

G = 0,111...1... als V waar is,
G = 0,222...2... als V onwaar is.

Voor wiskundige platonisten is G dan goed gedefinieerd zodra we een zeker wiskundig vermoeden V gekozen hebben. Dit getal zou dan gewoon bestaan, en de decimalen achter de komma zouden bepaald zijn, hoewel wij ze niet kennen. We zouden G zelfs in bewijzen mogen gebruiken.

Voor strenge constructivisten ligt de zaak anders. Zij kunnen G niet concreet construeren. Het is voor hun dus een schimmig object dat in de wiskunde (zoals zij dat opvatten) niet thuis hoort.

Pi is een grensgeval omdat er willekeurig nauwkeurige benaderingen (als exacte breuk) te construeren zijn. Vergelijk de Oude Grieken.

#14

Skyliner

    Skyliner


  • >100 berichten
  • 247 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 november 2010 - 13:23

Er zijn al een aantal interessante stellingen naar voren gebracht!

Oke, misschien heb ik het woord 'constante' fout opgevat als iets dan altijd perfect bepaald moet zijn, maar wat ik wil zeggen - en zo is ook door sommigen bevestigd - is dat als men er zomaar vanuit gaat (puur wiskundig) dat een getal zoals pi gebruikt wordt in bewijzen zonder dat men het precies kent, of je dan zoiets mag gebruiken in bewijzen. Of je dat als een algemeen aanvaard cijfer mag zien.

Nogmaals, ik ben niet wiskundig aangelegd, en daarom nu deze vraag: als je pi niet exact kent, en stel dat er een aantal decimalen ongeweten zijn, zouden de berekeningen dan anders zijn in vergelijking met nu?

Want een oneindig klein verschil, is wel een verschil in feite. Een figuur die oneindig goed lijkt op een cirkel, is in feite toch geen cirkel.

Of kan je zo'n oneindige verschillen inderdaad verwaarlozen?

Het is gewoon pure interesse, niets meer ;)

#15

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 november 2010 - 13:43

Stel je hebt een vierkant waarbij de ribbes een lengte x hebben. Als ik je nu vraag het oppervlak te berekenen en uit te drukken als functie van x, ga je dan een andere berekening doen dan als het vierkant een ribbelengte heeft van 3?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures