Springen naar inhoud

Lineaire differentiaalvergelijking v/d eerste orde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

YeeHaa

    YeeHaa


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 13:59

Hey,

Na verschillende pogingen over een periode van een paar dagen, kom ik deze opgave gewoonweg niet uit. Raar dat een eerste orde diff. vgl. dan juist niet wil lukken tussen al die hogere ordes...

Opgave:
LaTeX

Naar de vorm y' + P(x)y = Q(x) omgevormd:
LaTeX

Eerste stap: VRL=0
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Tweede stap: C=C(x) (Methode van Lagrange)
Vanuit de vorm LaTeX

LaTeX

Als ik hieruit C bereken, kom ik niet de eindoplossing uit welke in het boek gegeven wordt... Namelijk:
LaTeX

Ik heb het ook via de Particuliere oplossing geprobeerd, maar dit lukte me ook niet.
Ik neem aan dat ik iets simpels bij de eerste stap verkeerd doe...

Alvast bedankt voor de hulp.

Mvg

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 18:02

Om te beginnen vervangen we x-3 voorlopig door x. Op het einde doen we het omgekeerde.
De vergelijking wordt xy' = y - 4x^2

We zoeken eerst een oplossing van de homogene vergelijking xy'-y =0.

Men vindt y = dx met d een constante

We zoeken een oplossing van de vorm y = ax^2 + bx van de totale vergelijking xy' = y-4x^2

dan vindt men dat a = -4 moet zijn en b willekeurig. Dus y = -4x^2 +bx

De oplossing van xy' = y - 4x^2 = de oplossing van de homogene + de oplossing -4x^2+bx

We vinden y = -4x^2 +bx + dx
Dit is eigenlijk y = -4x^2 + c x of y = x(c-4x) met c willekeurig

Nu vervangen we weer x door x-3

Er komt y = (x-3)(c - 4(x-3))

dit is hetzelfde als y = (x-3)(-4x+k)


Controleer nog eens goed of er geen fouten instaan
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

YeeHaa

    YeeHaa


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 18:46

Is deze diff. vgl. geen lineaire diff. vgl. van de eerste orde?
Ik heb namelijk alleen maar lineaire diff. vgl. gezien, en geen homogene (dit was ook een oefening welke onder die term stond).

Daarom dat ik deze dus ook naar de vorm y' + P(x)y = Q(x) om heb gezet.

Kun je aangeven wat er fout is aan de oplossing die ik gebruik? Dit is namelijk de manier die aangegeven wordt bij de theorie, ik kan niet zo goed aan de gegeven oplossing hierboven uit..

Toch al bedankt voor de moeite.

Mvg

#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 20:26

LaTeX


LaTeX


Mvg


daar staat een foutje

LaTeX
dus is
LaTeX
LaTeX
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#5

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 21:00

y' + P(x)y = Q(x)

Ik ken alleen de volgende formule

noem LaTeX

dan is


LaTeX

Die F(x) is (x-3), maar jouw tweede deel begrijp ik niet.

Als ik het uitreken met bovenstaande formule komt het wel uit zoals in je boek

Q(x) = -4(x-3)

Q(x)/F(x) = -4

dan is y = (x-3) ( C -4x)

en dit is van de vorm (-4x+k).(x-3)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#6

YeeHaa

    YeeHaa


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 november 2010 - 21:34

In mijn theorieboek is gegeven dat een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde de vorm y'+P(x)y=Q(x) heeft.

Na toepassen van de eerste stap (y' + P(x)y=0) kom ik de (aan de hand van de verbetering) y=c.(x-3) uit.

Nu volg ik de methode van Lagrange (variatie van constanten), en vul ik de functie y=c.(x-3) in de hoofdopgave in.

LaTeX

Maar hiermee kom ik nog niet tot de eindoplossing...

Mvg

Veranderd door YeeHaa, 17 november 2010 - 21:36


#7

YeeHaa

    YeeHaa


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 november 2010 - 14:05

Ik ben dan toch uiteindelijk tot de oplossing gekomen, werkend via mijn boek.

De eerste stap was goed: y=c.(x-3)

Bij de tweede stap wordt dit LaTeX

Vereenvoudigd: LaTeX

C = -4x + k

Algemene oplossing:

y = (-4x+k).(x-3)

Toch bedankt voor de hulp!

Mvg





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures