Springen naar inhoud

Oplossen stelsel 4 bollen 4 variabelen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Basibo1_*

  • Gast

Geplaatst op 25 november 2010 - 17:57

Ik zou de volgende vergelijking willen oplossen, zonder matrices.
Geplaatste afbeelding

Ik heb waarden voor alle variabelen behalve x, y, z en ctb.
Dit stelsel moet ik oplossen voor mijn Profielwerkstuk dat gaat over GPS.
Vorige keer toen ik het wilde oplossen, ontstond een afhankelijk stelsel (ik kwam uit op 0=0).
Om dit te voorkomen (het kostte heel veel rekenwerk), zou ik graag jullie hulp willen vragen.
Wat is het correcte algoritme om dit stelsel op te lossen?

Alvast bedankt,

Basibo1


PS
De reden dat ik geen matrices gebruik is dat ik die nog nooit op school heb gehad en ik het dus ook niet goed kan uitleggen.
Zo komt men aan het stelsel van vergelijkingen:
http://www.math.tamu...ics/gps/gps.htm

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2010 - 18:09

De link bevat toch zelf de oplossing? Anders zul je eens moeten kijken hier: http://nl.wikipedia..../Newton-Raphson

Als je een oplossing verwacht in de vorm van x=..., dan ga ik je helaas moeten teleurstellen. Je gaat er namelijk niet in slagen om alle variabelen te scheiden van elkaar.

Overigens kun je alleen een afhankelijk stelsel bekomen als je ofwel iets verkeerd doet, ofwel je 4 punten in hetzelfde vlak liggen. Je kunt namelijk alleen een unieke oplossing vinden als je 4 punten NIET in hetzelfde vlak liggen.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

*_gast_Basibo1_*

  • Gast

Geplaatst op 25 november 2010 - 23:15

Hoi,
Bedankt voor je snelle antwoord.
Wij kwamen op een afhankelijk stelsel, omdat wij, volgens onze leraar, stappen hadden genomen die niet mochten.
Als we meerdere keren vergelijkingen van elkaar aftrekken, en in de verkeerde volgorde, kon dat ontstaan.
We weten dat de oplossing op de website staat, maar we kunnen het geen van 3'en volgen.
We hebben zelf nog nooit met matrices gewerkt en het is te ingewikkeld om te leren in zo weinig tijd (we willen het voor de kerstvakantie afhebben).
We hebben toch 4 vergelijkingen met 4 variabelen, waarom is het dan niet op te lossen?

Alvast bedankt,

Basibo1


PS (Ik zeg we, want we zijn met zijn 3'en)

#4

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 25 november 2010 - 23:25

Er is inderdaad soms precies 1 oplossing, maar dat wil nog niet zeggen dat je het exact kunt oplossen. Het heeft te maken met de factoren x², y² en z² die je overal zult krijgen.

Je kunt het anders eens proberen. Je zorgt dat enkel de wortel in het linkerlid staat, brengt de rest naar het rechterlid, en kwadrateert beide zijden.
Vervolgens zie je dat je een niet-lineair stelsel hebt. Een kwadratisch stelsel. (er staan kwadraten in van de gezochte variabelen) Alle stelsels die jullie (totnogtoe) misschien gezien hebben, zijn lineaire stelsels.

Edit: ik bedenk net iets. Je kunt die kwadraten in jullie geval wel wegwerken!
Je trekt na het kwadrateren van alle vergelijkingen, van de eerste vergelijking de 2e af, van de 2e de derde, van de 3e de 4e en van de 4e de eerste. Nu zou je 4 vergelijkingen moeten hebben zonder kwadraten, klopt het?
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#5

*_gast_Basibo1_*

  • Gast

Geplaatst op 26 november 2010 - 10:46

Wij hebben onze getallen zo gekozen, dat we waarschijnlijk uitkomen op een locatie ergens op de aardbol (hopelijk precies op onze school). Daardoor zou er één oplossing uit moeten komen, onnauwkeurigheden daargelaten.
Ontstaat er als we die vergelijkingen op die manieren van elkaar aftrekken geen afhankelijk stelsel?
Omdat wij met ontzettend grote getallen werken, kost het veel rekenwerk en we zijn bang om te veel tijd te verliezen met het maken van afhankelijke stelsels.
We hebben dit al een keer meegemaakt, na 3 uur rekenen.
Nogmaals bedankt voor je snelle antwoord,

Basibo1

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 november 2010 - 13:36

Wij hebben onze getallen zo gekozen, dat we waarschijnlijk uitkomen op een locatie ergens op de aardbol (hopelijk precies op onze school). Daardoor zou er één oplossing uit moeten komen, onnauwkeurigheden daargelaten.
Ontstaat er als we die vergelijkingen op die manieren van elkaar aftrekken geen afhankelijk stelsel?
Omdat wij met ontzettend grote getallen werken, kost het veel rekenwerk en we zijn bang om te veel tijd te verliezen met het maken van afhankelijke stelsels.
We hebben dit al een keer meegemaakt, na 3 uur rekenen.
Nogmaals bedankt voor je snelle antwoord,

Basibo1

Ah nee, ik ben verkeerd. Je houdt in de 4e vergelijking wel nog kwadraten over omdat je de eerste al verandert hebt.

Ik ben bang dat er niets anders op zit dan Newton-Rhapson te gebruiken... Newton-Rhapson lijkt mij het enige correcte algoritme dat je nog zult begrijpen.

Anders kun je het nog eens proberen met gewoon stelsels oplossen, maar nu de getallen altijd zo laat mogelijk invullen. Dus zo lang mogelijk werken met de letters.
Maar wees gewaarschuwd, het is inderdaad niet eenvoudig. ;)
Zie hier het normale algoritme trouwens: Bijlage  fulltext.pdf   4,8MB   46 maal gedownload
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#7

*_gast_Basibo1_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2010 - 08:35

We hebben besloten dat het "normale algoritme" te moeilijk is om in zo'n korte tijd te beheersen.
De afwijking in de metingen hebben we besloten te laten vallen. Op die manier hebben we 4 vergelijkingen met 3 variabelen en als we ze van elkaar aftrekken, houden we 3 lineaire vergelijkingen met 3 variabelen over.
Bedankt voor je hulp,

Basibo1

#8

*_gast_Basibo1_*

  • Gast

Geplaatst op 01 december 2010 - 21:41

Ik weet niet of dubbelposten is toegestaan, maar doe het hier wel even.

We hebben de vergelijking opgelost door eerst van de 2de, 3de en 4de vergelijking de eerste af te trekken.
Vervolgens trokken we de 2de van de 3de en 4de af en drukten we de x uit in z. Door middel van invullen en alles uitdrukken in z, hielden we een kwadratische vergelijking met alleen z over. Dit heeft twee oplossingen, waarvan 1 van de 2 de goede is. Heel erg bedankt voor je hulp. Wat mij betreft mag dit topic gesloten worden.

Basibo1

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2010 - 22:41

\Op die manier hebben we 4 vergelijkingen met 3 variabelen en als we ze van elkaar aftrekken, houden we 3 lineaire vergelijkingen met 3 variabelen over.

4 vgl met 3 onbekenden betekent of eindig veel oplossingen of geen oplossing, zoek het maar op in een lineaire algebraboek.
Quitters never win and winners never quit.

#10

*_gast_Basibo1_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2010 - 07:46

De snijpunten van 2 cirkels zijn ook te vinden, ook al ontstaat 1 vergelijking met 2 variabelen als je ze van elkaar af hebt getrokken. Je lost dat probleem op door een van de variabelen te schrijven als de ander en het vervolgens in een van de oorspronkelijke vergelijkingen in te vullen.

Bij een bol (of eigenlijk 4 bollen) werkt het precies zo, je schrijft elke variabele als een andere, gemeenschappelijke variabele. Vervolgens vul je dat in in een van de oorspronkelijke vergelijkingen, waardoor een kwadratische vergelijking met 1 variabele ontstaat. Dit levert 2 oplossingen op.

Basibo1

#11

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 december 2010 - 21:07

4 vgl met 3 onbekenden betekent of eindig veel oplossingen of geen oplossing, zoek het maar op in een lineaire algebraboek.

Dat lijkt me sterk.

Vooreerst gaat het hier over niet-lineaire vergelijkingen, dus wat dat handboek lineaire algebra daar over zegt weet ik niet.

Ten tweede kan ik met 4 identieke vergelijkingen van 3 onbekenden ook oneindig veel oplossingen hebben, ook in de lineaire algebra....
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#12

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 december 2010 - 21:16

Vooreerst gaat het hier over niet-lineaire vergelijkingen, dus wat dat handboek lineaire algebra daar over zegt weet ik niet.

Goed punt.

Ten tweede kan ik met 4 identieke vergelijkingen van 3 onbekenden ook oneindig veel oplossingen hebben, ook in de lineaire algebra....

Dat zei ik toch ook?
Quitters never win and winners never quit.

#13

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 december 2010 - 01:55

Dat zei ik toch ook?

4 vgl met 3 onbekenden betekent of eindig veel oplossingen of geen oplossing, zoek het maar op in een lineaire algebraboek.

;) Je kunt helemaal niets met zekerheid stellen over overbepaalde stelsels.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures