De literatuur die ik hier heb is eigenlijk van een te hoog niveau, waardoor ik er niet veel wijzer van wordt. Kunnen jullie me hier op weg helpen met de volgende opgave? Links naar nuttige websites zijn ook zeer welkom!Opgave a en b zijn nog wel gelukt, daarna raak ik snel de draad kwijt, mede omdat ik niet weet wat sommige termen betekenen.
In R^4 zijn gegeven de vectoren a, b, c, p:
a =
\(\left( \begin{array}{cc} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)\)
b = \(\left( \begin{array}{cc} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right)\)
c = \(\left( \begin{array}{cc} 2 \\ 5 \\ 5 \\ 4 \end{array} \right)\)
p = \(\left( \begin{array}{cc} 0 \\ 10 \\ 5 \\ 5 \end{array} \right)\)
en de deelruimten U = <a,b,c> en V = <a,b>.[/i]
a) Bereken de lengte van de vector a en bepaal de hoek tussen de vectoren a en b.
|a| =
(1²+2²+1²+2²)= ](*,) [(10)Ik noem de gevraagde hoek φ.
cos(φ)=
\(\frac{(a,b)}{|a||b|}\)
(a,b)= 1*1+2*3+1*4+2*2 = 15|b| = pi.gif (30)
Dan wordt het: cos(φ)=
\(\frac{15}{\sqrt10\sqrt30}\)
dus φ= arccos (\(\frac{15}{\sqrt(10)\sqrt(30)}\)
)= 30°b) Onderzoek of de vectoren a, b, c onafhankelijk zijn.
Ik maak een stelsel:
\(\left( \begin{array}{rcl} \alpha+\beta+2\gamma = 0 \\ 2\alpha+3\beta+5\gamma = 0\\ \alpha+4\beta+5\gamma = 0 \\ 2\alpha+2\beta+4\gamma = 0 \end{array} \right)\)
\(\Rightarrow\)
\(\left( \begin{array}{rcl} \alpha+\beta+2\gamma = 0 \\ \beta+\gamma = 0\\ 3\beta+3\gamma = 0 \\ 0 = 0 \end{array} \right)\)
Uit 0 = 0 concludeer ik dat de vectoren afhankelijk zijn. (Klopt dit zo?)c) Geef een basis en de dimensie van U = <a,b,c>.
De dimensie is het aantal onafhankelijke vectoren dacht ik. De basis wordt gegeven door deze onafhankelijke vectoren. Maar hoe bereken ik dat?
d) Bepaal de loodrechte projectie pV van p op V = <a,b>.
Volgens mij kom ik hier ook wel uit:
- eerst bereken ik het inwendig product (a,b) op soortgelijke manier als bij opgave a)
- de projectie wordt dan gegeven door pV = (a,b) cos (90)
Klopt dit zo?
e) Bepaal het orthogonale complement V⊥ van V = <a,b>; dit is de verzameling van alle vectoren in R^4 die loodrecht staan op V.
Hier ben ik het helemaal kwijt... ](*,)
