Springen naar inhoud

Basisberekeningen aan vectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PieterVK_*

  • Gast

Geplaatst op 29 november 2010 - 12:06

Sinds (heel) lange tijd krijg ik weer met vector-berekeningen te maken. Ik heb er weinig van onthouden, blijkt wel. ;) De literatuur die ik hier heb is eigenlijk van een te hoog niveau, waardoor ik er niet veel wijzer van wordt. Kunnen jullie me hier op weg helpen met de volgende opgave? Links naar nuttige websites zijn ook zeer welkom!

Opgave a en b zijn nog wel gelukt, daarna raak ik snel de draad kwijt, mede omdat ik niet weet wat sommige termen betekenen.


In R^4 zijn gegeven de vectoren a, b, c, p:
a = LaTeX b = LaTeX c = LaTeX p = LaTeX
en de deelruimten U = <a,b,c> en V = <a,b>.



a) Bereken de lengte van de vector a en bepaal de hoek tussen de vectoren a en b.

|a| = :)(1≤+2≤+1≤+2≤)=](*,)[(10)

Ik noem de gevraagde hoek φ.
cos(φ)= LaTeX
(a,b)= 1*1+2*3+1*4+2*2 = 15
|b| = pi.gif(30)

Dan wordt het: cos(φ)= LaTeX
dus φ= arccos (LaTeX )= 30į


b) Onderzoek of de vectoren a, b, c onafhankelijk zijn.
Ik maak een stelsel:
LaTeX LaTeX LaTeX
Uit 0 = 0 concludeer ik dat de vectoren afhankelijk zijn. (Klopt dit zo?)

c) Geef een basis en de dimensie van U = <a,b,c>.
De dimensie is het aantal onafhankelijke vectoren dacht ik. De basis wordt gegeven door deze onafhankelijke vectoren. Maar hoe bereken ik dat?

d) Bepaal de loodrechte projectie pV van p op V = <a,b>.
Volgens mij kom ik hier ook wel uit:
- eerst bereken ik het inwendig product (a,b) op soortgelijke manier als bij opgave a)
- de projectie wordt dan gegeven door pV = (a,b) cos (90)

Klopt dit zo?

e) Bepaal het orthogonale complement V⊥ van V = <a,b>; dit is de verzameling van alle vectoren in R^4 die loodrecht staan op V.

Hier ben ik het helemaal kwijt... ](*,)

Veranderd door PieterVK, 29 november 2010 - 12:16


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2010 - 16:44

b) Onderzoek of de vectoren a, b, c onafhankelijk zijn.
Ik maak een stelsel:
Bericht bekijken

c) Geef een basis en de dimensie van U = <a,b,c>.
De dimensie is het aantal onafhankelijke vectoren dacht ik. De basis wordt gegeven door deze onafhankelijke vectoren. Maar hoe bereken ik dat?

Je kan alvast een lineair afhankelijke vector schrappen, ga dan na of de overige een lineair onafhankelijk stel vormen. Ga zo door tot je een basis hebt.

d) Bepaal de loodrechte projectie pV van p op V = <a,b>.
Volgens mij kom ik hier ook wel uit:
- eerst bereken ik het inwendig product (a,b) op soortgelijke manier als bij opgave a)
- de projectie wordt dan gegeven door pV = (a,b) cos (90)

Heb je een formule gezien voor de loodrechte projectie?

e) Bepaal het orthogonale complement V⊥ van V = <a,b>; dit is de verzameling van alle vectoren in R^4 die loodrecht staan op V.

Als je de dimensie van V kent, dan ken je ook de dimensie van het complement (samen dimensie 4). Je zoekt dan een basis van dit complement, daarvoor heb je lineair onafhankelijke vectoren nodig die loodrecht op de vectoren uit V staan. Helpt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

*_gast_PieterVK_*

  • Gast

Geplaatst op 30 november 2010 - 09:48

De conclusie klopt, de redenering erachter is me niet helemaal duidelijk. De derde vergelijking is nu ook een veelvoud van de tweede. Wat je hier wil uithalen, is weten of alfa, beta en gamma alle drie 0 moeten zijn (onafhankelijk) of niet (afhankelijk). Dat hoeft niet, de vectoren zijn dus (inderdaad) lineair afhankelijk.

OK, dat is helder! Bedankt!

Je kan alvast een lineair afhankelijke vector schrappen, ga dan na of de overige een lineair onafhankelijk stel vormen. Ga zo door tot je een basis hebt.

Hier gaat het mis... ik begrijp niet welke vector ik mag schrappen.

Heb je een formule gezien voor de loodrechte projectie?

Mij formularium geeft: als X en Y vectoren zijn, dan is de projectie (Z) van Z op Y de vector met dezelfde helling als vector Y met een lengte van |Z|=|X| cos (hoek X,Y).

Aangezien het om een loodrechte projectie gaat ben ik uitgegaan van 90į.

Als je de dimensie van V kent, dan ken je ook de dimensie van het complement (samen dimensie 4). Je zoekt dan een basis van dit complement, daarvoor heb je lineair onafhankelijke vectoren nodig die loodrecht op de vectoren uit V staan. Helpt dat?


Nog niet, maar laat ik eerst verder werken aan de andere opgaven. ](*,)

#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 november 2010 - 10:42

Hier gaat het mis... ik begrijp niet welke vector ik mag schrappen.


Voor deel c)


Het gaat over vectoren a, b en c.
Kijk eens goed naar die drie vectoren.
Dan zie je snel dat de derde een lineaire combinatie is van de eerste twee.

dan blijven er maar twee meer over.

Zijn ze afhankelijk ?



In deel d)

Het gaat hier niet over de projectie van een vector p op een andere,
maar om de projectie van p op een deelruimte V opgespannen door de vectoren a en b.

Veranderd door Fernand, 30 november 2010 - 10:54

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#5

*_gast_PieterVK_*

  • Gast

Geplaatst op 30 november 2010 - 11:35

Voor deel c)
Het gaat over vectoren a, b en c.
Kijk eens goed naar die drie vectoren.
Dan zie je snel dat de derde een lineaire combinatie is van de eerste twee.
dan blijven er maar twee meer over.
Zijn ze afhankelijk ?

Het kwartje valt, bedankt! Ik ga deze nu uitwerken.

In deel d)

Het gaat hier niet over de projectie van een vector p op een andere,
maar om de projectie van p op een deelruimte V opgespannen door de vectoren a en b.


... en daarvoor geldt de formule die ik noemde kennelijk niet. Jammer! Hoe moet ik dit dan wel aanpakken?

#6

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 november 2010 - 11:50

Voor deel d weet ik wel een weg maar ze is moeizaam.

Laten we eerst naar deel e kijken.

Voor deel e)
We moeten alle vectoren zoeken zie loodrecht staan op V. a en b vormen een basis van V.
tip:
Als een vector loodrecht staat op a en op b dan staat ze loodrecht op alle vectoren van V.

Hoeveel vectoren , loodrecht op a en b, volstaan om ze allemaal te kennen?

Veranderd door Fernand, 30 november 2010 - 11:52

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 november 2010 - 16:04

Hier gaat het mis... ik begrijp niet welke vector ik mag schrappen.

Voor deel c)


Het gaat over vectoren a, b en c.
Kijk eens goed naar die drie vectoren.
Dan zie je snel dat de derde een lineaire combinatie is van de eerste twee.

dan blijven er maar twee meer over.

Voor de duidelijkheid: je had hier even goed een van de andere twee vectoren kunnen schrappen, het moest niet de derde zijn... Ook de overige twee zijn elk een lineaire combinatie van de resp. overblijvende vectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures