Strikvragen differentialen, continuïteiten

Gerdox

Hallo

Ik ben er vrij overtuigd van dat in mijn examen wiskunde (1ste bach Chemie) waar-vals vragen gaan zitten.

Ik geef een voorbeeld Als een functie continu is dan bestaat de limiet. juist of fout... enz.

Wel nu heb ik daar enkele vragen over. Een functie is continu in een punt als in dat punt de limiet bestaat en de

lim x->c f(x)=f© we zien dus dat de 1ste voorwaarde is dat f(x) bestaat voor x=c 2de voorwaarde is dat de limiet bestaat (convergent is) en de 3de voorwaarde dat die limiet dan ook nog gelijk is aan f©.

Omgekeerd kunnen we dus zeggen dat als een functie continu is in een punt de lim daar ook moet bestaan aangezien het een van de voorwaarden is van continuïteit.

Maar wat ik niet begrijp aan de 2de en 3de voorwaarde is: is als de lim x-> c f(x) als die bestaat is die toch altijd gelijk aan f©???

Volgende vraag: als een functie differentieerbaar is in een punt dan is de functie daar continu. Dus als lim x->x (f(x)-f©)/(x-c) (formele definitie differentiaal) bestaat dan is je functie dus differentieerbaar en continu, bestaat die limiet niet dan is je functie niet differentieerbaar en omdat de limiet in dat punt niet bestaat dus ook niet continu. Is dit correct??

Alvast bedankt!

Robin

EvilBro

Maar wat ik niet begrijp aan de 2de en 3de voorwaarde is: is als de lim x-> c f(x) als die bestaat is die toch altijd gelijk aan f©???

Bekijk de functie f(x) eens met het volgende functievoorschrift:

f(x) = 2 als x=0

f(x) = x elders

Dus als lim x->x (f(x)-f©)/(x-c) (formele definitie differentiaal) bestaat dan is je functie dus differentieerbaar en continu, bestaat die limiet niet dan is je functie niet differentieerbaar en omdat de limiet in dat punt niet bestaat dus ook niet continu. Is dit correct??

Bekijk f(x) = |x|

Gerdox

In het eerste geval, als je van die samengestelde functie de limiet wil nemen, kijken of in x=0 de limieten dezelfde zijn niet? als je de limiet neemt van f(x) voor x gaande naar nul verkrijg je nu, wat niet overeen komt met het beeld van het bovenste deel van de functie...Waardoor die limiet dus niet bestaat? Of ben ik daar fout? Bestaat de limiet wel maar komt de limiet niet overeen met het beeld?

In het tweede geval is de functie inderdaad continu maar niet differentieerbaar in nul. Dus lijkt mijn redenering te kloppen, niet?

TD

Of ben ik daar fout? Bestaat de limiet wel maar komt de limiet niet overeen met het beeld?

Inderdaad, de limiet voor x naar 0 bestaat (namelijk 0), maar is verschillend van de functiewaarde in 0 (namelijk 2).

In het tweede geval is de functie inderdaad continu maar niet differentieerbaar in nul. Dus lijkt mijn redenering te kloppen, niet?

Ja, als je dit bedoelt: differentieerbaar betekent ook continu, maar omgekeerd is dit niet (altijd) waar.

Gerdox

Ok ik begrijp het.

heel erg bedankt voor de hulp!!

TD

Graag gedaan, succes ermee.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Strikvragen differentialen, continuïteiten

Strikvragen differentialen, continu

Re: Strikvragen differentialen, continu

Re: Strikvragen differentialen, continu

Re: Strikvragen differentialen, continu

Re: Strikvragen differentialen, continu

Re: Strikvragen differentialen, continu