Begrensd + gesloten = compact?

jordwillo

dag iedereen,

zoals de titel toont heb ik moeite met de interpretatie van het begrip 'compact'. Heb al even wikipedia geraadpleegd maar daar vond ik niet echt een antwoord.

Ik zie deze begrippen in verband met verzamelingen in R^n

'gesloten' definiëren ze in mijn cursus als : een verzameling is gesloten als ze naast alle inwendige ook alle randpunten bevat. Dit lijkt me vrij duidelijk.

'begrensd is gedefiniëerd als : als er een r > 0 bestaat zodat voor elk punt a element van deze verzameling geldt dat |a|<r

een verzmaeling die zowel gesloten als begrensd is noemt men 'compact'.

Ik ga dus in de mist bij het begrip begrensd.....

iemand die een duidelijke uitleg heeft?

alvast bedankt

Jord

TD

'begrensd is gedefiniëerd als : als er een r > 0 bestaat zodat voor elk punt a element van deze verzameling geldt dat |a|<r

Is het deze definitie die je niet begrijpt? Ik vermoed dat |a| in je cursus wordt ingevoerd als de norm van a. Een verzameling heet dus begrensd indien alle punten (vectoren) uit die verzameling een norm hebben die onder een zeker vast reëel getal blijft.

Bijvoorbeeld is deelverzameling van R³ die bestaat uit alle punten binnen de bol met middelpunt in de oorsprong en straal 3, begrensd. Het zijn immers alle punten die voldoen aan x²+y²+z² < 9 en de norm van al deze punten is zeker kleiner dan 3.

Anderzijds is de deelverzameling van R² die bestaat uit alle punten die voldoen aan x > y, niet begrensd. Al deze punten vormen een halfvlak en je kan punten in dit halfvlak vinden met willekeurig grote norm (kies bv. y = 0 en x voldoende groot).

jordwillo

ok, dus begrensd wil zeggen da er een maximum grootte aan de vectoren wordt op gelegd, maar indien een verzameling gesloten is, dan is hij toch sowieso begrensd ook?

Erik Leppen

"begrensd" betekent gewoon wat je verwacht als je het woord ziet: verzameling A is begrensd als je er een schijf overheen kan leggen die de verzameling geheel overlapt.

indien een verzameling gesloten is, dan is hij toch sowieso begrensd ook?

Niet per se. Een verzameling A is gesloten als de rand van A tot A behoort. Oftewel, als elk randpunt in A zit. Dat zegt echter niets over wat er allemaal in die rand moet zitten. Het zegt alleen, als een punt in de rand zit, dan zit het ook in A zelf.

Je kan prima gesloten verzamelingen hebben die "oneindig ver weg reiken", bijvoorbeeld het gebied boven (en inclusief) de parabool y = x^2, oftewel alle punten (x, y) binnen R^2 met y >= x^2. Of überhaupt iedere verzameling van de vorm

\(\{x \in \mathbb{R}^n: f(x) \geq C \}\)

voor een of andere functie f en een of andere constante C. De rand bevat punten waarvoor f(x) precies gelijk is aan C.

(hoe doe je ook weer vectornotatie in TeX?)

Om een flauw voorbeeld te geven, de verzameling R^n zelf is gesloten, want alle randpunten, namelijk geen enkele, zitten in R^n.

TD

ok, dus begrensd wil zeggen da er een maximum grootte aan de vectoren wordt op gelegd, maar indien een verzameling gesloten is, dan is hij toch sowieso begrensd ook?

Nee, gesloten betekent niet noodzakelijk begrensd. De verzameling van reële getallen x

1 is bijvoorbeeld gesloten, maar niet begrensd.

Edit: net te laat, blijkbaar.

(hoe doe je ook weer vectornotatie in TeX?)

Met \vec:

\(\vec x\)

.

Axioma91

Nog even een duidelijke definitie voor begrensd:

1) Een verzameling

\(V \subseteq R\)

is naar boven begrensd als er een

\(x \in R\)

bestaat zo dat

\(v \leq x\)

voor alle

\(v \in V\)

. Hierin is x een bovengrens voor V.

2) Een verzameling

\(V \subseteq R\)

is naar beneden begrensd als er een

\(x \in R\)

bestaat zo dat

\(x \leq v\)

voor alle

\(v \in V\)

. Hierin is x een ondergrens voor V.

- V is begrensd als V naar boven en naar beneden begrensd is.

WernerP

Vermits het over verzamelingen in

\(\mathbb{R}^n\)

gaat:

Een verzameling

\(V \subseteq \mathbb{R}^n\)

is begrensd als er een eindige straal en een middelpunt bestaat zodanig dat de figuur in de bol past:

\(\exists r > 0, \exists x \in \mathbb{R}^n: V \subseteq B(x,r)\)

Als de metriek van de ruimte zodanig is dat de driehoeksongelijkheid geldt, kan je bovendien bewijzen dat het middelpunt zonder verlies van algemeenheid de oorsprong kan zijn:

\(\exists r > 0, V \subseteq B(0,r)\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Begrensd + gesloten = compact?

Begrensd + gesloten = compact?

Re: Begrensd + gesloten = compact?

Re: Begrensd + gesloten = compact?

Re: Begrensd + gesloten = compact?

Re: Begrensd + gesloten = compact?

Re: Begrensd + gesloten = compact?

Re: Begrensd + gesloten = compact?