Springen naar inhoud

Vectorruimte over een bepaald veld


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dendenden92

    dendenden92


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2010 - 22:10

In mijn curcus staat er het volgende:

We spreken van een vectorruimte V,+,. over het veld F.
Wanneer geen twijfel mogelijk is over welk veld het gaat hoeven we het niet te vermelden.

voorbeeld

R^2,+,. uiteraard over het veld R

Waarom is dit zo (R slaat op ReeŽle getallen)?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2010 - 23:13

Waarom is dit zo

Waarschijnlijk omdat je vooral met reŽle vectorruimten werkt, zoals R≤ of R≥ over R.

(R slaat op ReeŽle getallen)?

Klopt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2010 - 19:25

In mijn curcus staat er het volgende:

We spreken van een vectorruimte V,+,. over het veld F.
Wanneer geen twijfel mogelijk is over welk veld het gaat hoeven we het niet te vermelden.

voorbeeld

R^2,+,. uiteraard over het veld R

Waarom is dit zo (R slaat op ReeŽle getallen)?

Omdat de notatie R^2 al direct aangeeft dat je het over het veld R hebt. Als je een vectorruimte over een ander veld hebt
dan zou het nogal raar zijn om deze vectorruimte met R^2 aan te geven.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2010 - 20:15

Omdat de notatie R^2 al direct aangeeft dat je het over het veld R hebt. Als je een vectorruimte over een ander veld hebt
dan zou het nogal raar zijn om deze vectorruimte met R^2 aan te geven.

Dat volg ik toch niet helemaal... De R≤ hierin is inderdaad de vectorruimte en omdat men dit bijna altijd over het veld R zal nemen (zoals ook R≥ over R of zelfs gewoon R over R), wordt dat veld niet vermeld. Het is echter ook mogelijk R≤ over het veld Q te beschouwen - of eender welk veld K. Als men afwijkt van R als veld, zal het veld daarom meestal wel vermeld worden, maar R wordt stilzwijgend weggelaten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dendenden92

    dendenden92


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 december 2010 - 22:53

Dat volg ik toch niet helemaal... De R≤ hierin is inderdaad de vectorruimte en omdat men dit bijna altijd over het veld R zal nemen (zoals ook R≥ over R of zelfs gewoon R over R), wordt dat veld niet vermeld. Het is echter ook mogelijk R≤ over het veld Q te beschouwen - of eender welk veld K. Als men afwijkt van R als veld, zal het veld daarom meestal wel vermeld worden, maar R wordt stilzwijgend weggelaten.


Dat is nu net hetgeen wat ik er niet aan begrijp ;)!

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 december 2010 - 09:21

Wat begrijp je er niet aan?

Een vectorruimte is een verzameling V (zoals R≤ of R≥, maar het kan ook een heel andere verzameling zijn) waarvan de elementen de 'vectoren' zijn, samen met een getalverzameling (of veld, ook wel lichaam genoemd in Nederland) F waarvan de elementen de 'scalairen' zijn.
Als dat veld de reŽle getallen zijn (dus R), dan spreek je van een reŽle vectorruimte en dat zal in jouw geval meestal zo zijn. Hoewel je dus in principe moet vermelden welk veld je bij de verzameling V gebruikt, wordt dat vaak gewoon verzwegen wanneer het over de reŽle getallen gaat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 december 2010 - 12:11

Dat volg ik toch niet helemaal... De R≤ hierin is inderdaad de vectorruimte en omdat men dit bijna altijd over het veld R zal nemen (zoals ook R≥ over R of zelfs gewoon R over R), wordt dat veld niet vermeld. Het is echter ook mogelijk R≤ over het veld Q te beschouwen - of eender welk veld K. Als men afwijkt van R als veld, zal het veld daarom meestal wel vermeld worden, maar R wordt stilzwijgend weggelaten.

Uiteraard kan dit, maar waarom zou je het dan in godsnaam nog R^2 noemen? Als je R^2 als vectorruimte over Q beschouwt krijg je namelijk een oneindig-dimensionale vectorruimte. Bijvoorbeeld de vectoren (1, 0) en (Pi , 0) zouden dan lineair onafhankelijke vectoren worden, wat de notatie nodeloos ingewikkeld maakt.

Okee, misschien dat je dit wel tegen zou komen in een opgave, maar dan is het wel een opgave die expres op deze wijze geformuleerd is om het ingewikkeld te maken.

Echter, als je ooit in de praktijk een oneindig-dimensionale vectorruimte over Q nodig hebt, dan zie ik geen enkele reden waarom je deze de naam R^2 zou willen geven.

In het algemeen geldt dat als je een n-dimensionale vetorruimte over het veld F hebt, deze wordt aangegeven met F^n.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 december 2010 - 13:49

Uiteraard kan dit, maar waarom zou je het dan in godsnaam nog R^2 noemen?

Je noemt het nog R≤ omdat je vectoren nog steeds uit R≤ komen, natuurlijk... Dat is onafhankelijk van het veld.

In het algemeen geldt dat als je een n-dimensionale vetorruimte over het veld F hebt, deze wordt aangegeven met F^n.

Volgens mij verwar jij nog steeds de vectorruimte (die inderdaad van de vorm F^n kan zijn, met F een veld - maar dat hoeft niet!) met het veld waarover je de vectorruimte beschouwt. De vectorruimten die jij hier aanhaalt, zijn maar een deel van de mogelijke vectorruimten ('coŲrdinatenruimten', zo je wil). De vectorruimte van de continue functies, van mxn-matrices, van ... zijn ook vectorruimten die je, opnieuw, over een of ander veld F (R, Q, C, of ...) kan nemen.

Dat brengt me wel terug bij de gangbare weglating van het veld: als je vectorruimte van de vorm F^n is met F een veld en er wordt geen veld gespecifieerd, dan wordt F^n over het veld F bedoeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2010 - 14:06

Je noemt het nog R≤ omdat je vectoren nog steeds uit R≤ komen, natuurlijk... Dat is onafhankelijk van het veld.

Sinds wanneer 'komen vectoren ergens vandaan'??? Wat je bedoelt is dat de notatie nog steeds in de vorm van R^2 is. Maar zoals ik al zei: dat is een nodeloos ingewikkelde notatie wanneer je het eigenlijk over een oneindig-dimensionale ruimte over Q hebt.

Volgens mij verwar jij nog steeds de vectorruimte (die inderdaad van de vorm F^n kan zijn, met F een veld - maar dat hoeft niet!) met het veld waarover je de vectorruimte beschouwt. De vectorruimten die jij hier aanhaalt, zijn maar een deel van de mogelijke vectorruimten ('coŲrdinatenruimten', zo je wil).

Alle eindig-dimensionale vectorruimten zijn van de form F^n (of in elk geval isomorf daaraan, maar dat komt op hetzelfde neer) en dus is het ook alleen voor die vectorruimten zinvol om ze als F^n te noteren. Dat is precies wat ik zei over het beschouwen van R^2 als vectorruimte over Q.

De vectorruimte van de continue functies, zijn ook vectorruimten die je, opnieuw, over een of ander veld F (R, Q, C, of ...) kan nemen.

Precies, maar dat zijn oneindig dimensionale vectorruimtes die je sowieso al niet als F^n zou willen noteren. De ruimte van mxn matrices zou je eventueel als F^(nxm) kunnen noteren, maar dat klopt want het is ook inderdaad een vectorruimte over F.

Dat brengt me wel terug bij de gangbare weglating van het veld: als je vectorruimte van de vorm F^n is met F een veld en er wordt geen veld gespecifieerd, dan wordt F^n over het veld F bedoeld.

Dat ben ik met je eens, maar mijn punt is dat als je met F^n een vectorruimte over een ander veld dan F bedoelt, dan is het nogal stom om deze F^n te noemen. Sterker nog, je kunt hem alleen maar F^n noemen als het sowieso ook een vectorruimte over F is. Het enige wat mogelijk is, is dat je een verzameling hebt die je zowel als een vectorruimte over F als over een ander veld, laten we zeggen H, wil beschouwen.

Maar hoe vaak ben jij een vectorruimte tegengekomen die je tegelijkertijd als twee verschillende vectorruimtes wil beschouwen over twee verschillende velden??? Ikzelf hooguit misschien in een opgave die puur en alleen bedoeld is om te demonstreren dat dit inderdaad mogelijk is.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures