Springen naar inhoud

Inductie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

RJ_

    RJ_


  • >100 berichten
  • 107 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 september 2005 - 19:29

Ik zit met het volgende probleem:

Geplaatste afbeelding

Dit moet aangetoond worden dmv volledige inductie, ik loop vast bij het sommage teken in de inductiestap ( basisstap lukt wel), ik krijg de reeks 1/ greek032.gif1 + 1/ greek032.gif2 + ... 1/ greek032.gifn + 1/ greek032.gifn+1 + ...

Ik weet niet zo goed hoe ik de inductiestap nu uit moet werken.

Groet RJ


- edit: de link werkt wel, waarom geen plaatje? Kan iemand anders 'm misschien wel in beeld brengen? -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 20:13

het principe van inductie is als volgt: we werken in N (natuurlijke getallen). Als een eigenschap geldt voor een bepaalde waarde, en we kunnen bewijzen dat ze geldt voor alle opeenvolgende waarden, dan is de eigenschap bewezen. Dit noemt men het domino effect.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 september 2005 - 20:26

Dat is toch een klein beetje onzorgvuldig gesteld. Voor natuurlijke inductie controleren we het gestelde eerst voor een bepaalde waarde, gewoonlijk de kleinst mogelijke. Dit is de basisstap.
Daarna veronderstel je dat het gestelde voldaan is voor een onbekende waarde, "n = k" (maar wel groter dan de eerst gekozen waarde). Dit is de inductiehypothese.
Ten slotte bewijs je, uitgaande van de inductiehypothese, dat het dan ook klopt voor de waarde die er op volgt, "n = k+1" dus.

Dit kan je inderdaad als een soort dominoeffect beschouwen :shock:

#4


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 20:28

het antwoord op jouw vraag:

voor m=2 geldt de bewering: 2*vkw(2)-2 < 1+vkw(2)/2 < 2 vkw(2)-1

nu bewijzen we dat, als de eigenschap geldt voor m=k; ze ook geldt voor m=k+1

eerste deel van de ongelijkheid:
we stellen m=k+1. we krijgen: 2*vkw(k+1)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k)+1/vkw(k+1) (*)

we weten dat 2*vkw(k)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k).

Als we in (*) 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k) vervangen door 2*vkw(k)-2 blijft de ongelijkheid behouden (kijk zelf na!)

we schrijven: 2*vkw(k+1)-2 < 2*vkw(k)-2 + 1/vkw(k+1)
verder uitwerken:
2*vkw(k+1) < 2*vkw(k)+ 1/vkw(k+1)
2*vkw(k+1)*vkw(k+1) - 1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)
2k+1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)

we kwadrateren beide leden: 4k≤+4k+1< 4k≤+4k (!)
eerste deel is bewezen.

op gelijkaardige manier bewijs je het tweede deel. aan u de eer..

#5


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 20:34

het antwoord op jouw vraag:

voor m=2 geldt de bewering: 2*vkw(2)-2 < 1+vkw(2)/2 < 2 vkw(2)-1

nu bewijzen we dat, als de eigenschap geldt voor m=k; ze ook geldt voor m=k+1
 
eerste deel van de ongelijkheid:
we stellen m=k+1. we krijgen: 2*vkw(k+1)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k)+1/vkw(k+1) (*)

we weten dat 2*vkw(k)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k).  

Als we in (*) 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k) vervangen door 2*vkw(k)-2 blijft de ongelijkheid behouden (kijk zelf na!)

we schrijven: 2*vkw(k+1)-2 < 2*vkw(k)-2 + 1/vkw(k+1)
verder uitwerken:  
2*vkw(k+1) < 2*vkw(k)+ 1/vkw(k+1)
2*vkw(k+1)*vkw(k+1) - 1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)
2k+1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)

we kwadrateren beide leden: 4k≤+4k+1< 4k≤+4k (!)
eerste deel is bewezen.

op gelijkaardige manier bewijs je het tweede deel. aan u de eer..

best grappig
k dacht dat je moest stellen n=k en dan n=k+1 bewijzen..
je werkte juist met het getal m.

in ieder geval : een paar opmerkingen
n>=1 dus wortel(n+1)>=wortel(2)
nara mijn interpretatie moet gelden dat 1,2,3...n<=m
en dat ook moet gelden dat n+1<=m
want anders kun je niet sommeren

#6


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 20:43

best grappig
k dacht dat je moest stellen n=k en dan n=k+1 bewijzen..
je werkte juist met het getal m.

in ieder geval : een paar opmerkingen
n>=1 dus wortel(n+1)>=wortel(2)
nara mijn interpretatie moet gelden dat 1,2,3...n<=m
en dat ook moet gelden dat n+1<=m
want anders kun je niet sommeren


heb ik nooit beweerd.. en zo lukt het toch ook.

die opmerkingen, gaat dat over mijn antwoord of is dat een poging tot een andere methode?

#7


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 21:05


best grappig
k dacht dat je moest stellen n=k en dan n=k+1 bewijzen..
je werkte juist met het getal m.

in ieder geval : een paar opmerkingen
n>=1 dus wortel(n+1)>=wortel(2)
nara mijn interpretatie moet gelden dat 1,2,3...n<=m
en dat ook moet gelden dat n+1<=m
want anders kun je niet sommeren


heb ik nooit beweerd.. en zo lukt het toch ook.

die opmerkingen, gaat dat over mijn antwoord of is dat een poging tot een andere methode?


poging tot iets anders..
.. het is gewoon raar
k denk dat je een k uit {1,2,3..,m-1} moet kiezen..zodat
k+1 ergens ligt in {2,3,....,m} en dan iets bedenken voor het bewijs

#8


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 21:16

Er zit een fout in het gegeven bewijs, de gelijkheid blijft NIET behouden!

Neem aan a < b (inductieveronderstelling voor m=k). We moeten laten zien dat a' < b + c (voor m=k+1). We kunnen dan NIET stellen a' < a + c, omdat a < b.

Tegenvoorbeeldje: laat k=2, dan:
gegeven: 2sqrt(2)-2 < 1 + 1/sqrt(2).....................(0,8284 < 1,7071 idd)
nu is ook: 2sqrt(3)-2 < 1 + 1/sqrt(2) + 1/sqrt(3)...(1,4641 < 2,2845 idd)
Maar niet: 2sqrt(3)-2 < 2sqrt(2) - 2 + 1/sqrt(3).....(1,4641 < 1,4058 err)

#9

Friendly Ghost

    Friendly Ghost


  • >100 berichten
  • 222 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 september 2005 - 21:20

Klopt, dat volgt ook uit de uitwerking van Toon:

4k≤+4k+1< 4k≤+4k (!)


Deze ongelijkheid klopt namelijk niet, het linkerlid is juist groter dan het rechterlid
"If you're scared to die, you'd better not be scared to live"

#10


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 21:53

we kwadrateren beide leden: 4k≤+4k+1< 4k≤+4k (!)
eerste deel is bewezen.

op gelijkaardige manier bewijs je het tweede deel. aan u de eer..


Toon, dit kan je toch niet menen!

#11


  • Gast

Geplaatst op 14 september 2005 - 22:01

een andere mogelijkheid is:
die m is 'constant' en verandert niet..
terwijl n verandert in {1,2,...,m}



als we de ongelijkheid willen bewijzen.. moeten we die bewijzen voor n=1 en n=m
want stel f(k)=SOm(n=1 tot n=k) van 1/wortel(k)
dan is f(1)=1/wortel(1)
f(2) =1/wortel(1)+ 1/wortel(2)
f(m)=1/wortel1+1/wortel2+....+1/wortel(m)
en je kunt zo nagaan dat
f(1)<f(2)<...<f(m)
dus het is voldoende om aan te tonen dat
2wortel(m)-2<f(1) (( makkelijk))
en bewijzen dat f(m)< 2wortel(2)-1

of wel
1/wortel1+1/wortel2+....+1/wortel(m)<2wortel(2)-1
deze is een stukje minder eenvoudig...

dit is geen bewijs met inductie..maar het moet wel werken..'following me'

#12

RJ_

    RJ_


  • >100 berichten
  • 107 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 september 2005 - 07:14

Ik volg je voor een groot deel 'NIet', maar ik moet het toch echt dmv volledige inductie presteren...

#13

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 september 2005 - 17:28

eerste ongelijkheid:

basis: m=2
------------
2[wortel](2) - 2 < 1/1 +1/2 ok

inductiestap: we stellen dat het geldt voor m = k
--------------------------------------------------------
2[wortel](k) - 2 < greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n

Te bewijzen: hieruit volgt dat de stelling geldt voor m = k+1

Bewijs:
--------
we weten dat 2[wortel](k) - 2 < 2[wortel](k+1) - 2

Voldoende Te Bewijzen: 2[wortel](k) - 2 < greek034.gif n=1,k+1 1/[wortel]n
of ook:
2[wortel](k) - 2 < greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n + 1/;)(k+1)

Ook weten we dat greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n > 2[wortel](k) - 2 (inductiestap)

Dus greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n + 1/;)(k+1) > 2[wortel](k) - 2 + 1/:shock:(k+1)

Als we dus kunnen bewijzen dat 2[wortel](k) - 2 < 2[wortel](k) - 2 + 1/;)(k+1) dan hebben we ineens ook het VTB bewezen.

<=> 0 < 1/:?:(k+1) triviaal

QED

Moest dit een fout bevatten, let me know..

#14


  • Gast

Geplaatst op 15 september 2005 - 19:31

TomMe

Ik zie het nog niet helemaal, dit is een andere uitwerking, wat gaat hier fout?

http://putfile.com/p...25613223483.jpg

#15

RJ_

    RJ_


  • >100 berichten
  • 107 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 september 2005 - 19:33

Ow dat was ik en t ging weer fout, ik bedoel deze:

http://putfile.com/p...315768.jpg&s=x1

of

http://putfile.com/p...25713315768.jpg





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures