Inductie

RJ_

Ik zit met het volgende probleem:

Afbeelding

Dit moet aangetoond worden dmv volledige inductie, ik loop vast bij het sommage teken in de inductiestap ( basisstap lukt wel), ik krijg de reeks 1/ greek032.gif1 + 1/ greek032.gif2 + ... 1/ greek032.gifn + 1/ greek032.gifn+1 + ...

Ik weet niet zo goed hoe ik de inductiestap nu uit moet werken.

Groet RJ

- edit: de link werkt wel, waarom geen plaatje? Kan iemand anders 'm misschien wel in beeld brengen? -

Anonymous

het principe van inductie is als volgt: we werken in N (natuurlijke getallen). Als een eigenschap geldt voor een bepaalde waarde, en we kunnen bewijzen dat ze geldt voor alle opeenvolgende waarden, dan is de eigenschap bewezen. Dit noemt men het domino effect.

TD

Dat is toch een klein beetje onzorgvuldig gesteld. Voor natuurlijke inductie controleren we het gestelde eerst voor een bepaalde waarde, gewoonlijk de kleinst mogelijke. Dit is de basisstap.

Daarna veronderstel je dat het gestelde voldaan is voor een onbekende waarde, "n = k" (maar wel groter dan de eerst gekozen waarde). Dit is de inductiehypothese.

Ten slotte bewijs je, uitgaande van de inductiehypothese, dat het dan ook klopt voor de waarde die er op volgt, "n = k+1" dus.

Dit kan je inderdaad als een soort dominoeffect beschouwen

Anonymous

het antwoord op jouw vraag:

voor m=2 geldt de bewering: 2*vkw(2)-2 < 1+vkw(2)/2 < 2 vkw(2)-1

nu bewijzen we dat, als de eigenschap geldt voor m=k; ze ook geldt voor m=k+1

eerste deel van de ongelijkheid:

we stellen m=k+1. we krijgen: 2*vkw(k+1)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k)+1/vkw(k+1) (*)

we weten dat 2*vkw(k)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k).

Als we in (*) 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k) vervangen door 2*vkw(k)-2 blijft de ongelijkheid behouden (kijk zelf na!)

we schrijven: 2*vkw(k+1)-2 < 2*vkw(k)-2 + 1/vkw(k+1)

verder uitwerken:

2*vkw(k+1) < 2*vkw(k)+ 1/vkw(k+1)

2*vkw(k+1)*vkw(k+1) - 1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)

2k+1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)

we kwadrateren beide leden: 4k²+4k+1< 4k²+4k (!)

eerste deel is bewezen.

op gelijkaardige manier bewijs je het tweede deel. aan u de eer..

Anonymous

Toon schreef:het antwoord op jouw vraag:

voor m=2 geldt de bewering: 2*vkw(2)-2 < 1+vkw(2)/2 < 2 vkw(2)-1

nu bewijzen we dat, als de eigenschap geldt voor m=k; ze ook geldt voor m=k+1

eerste deel van de ongelijkheid:

we stellen m=k+1. we krijgen: 2*vkw(k+1)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k)+1/vkw(k+1) (*)

we weten dat 2*vkw(k)-2 < 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k).

Als we in (*) 1+1/vkw(2)+...+1/vkw(k) vervangen door 2*vkw(k)-2 blijft de ongelijkheid behouden (kijk zelf na!)

we schrijven: 2*vkw(k+1)-2 < 2*vkw(k)-2 + 1/vkw(k+1)

verder uitwerken:

2*vkw(k+1) < 2*vkw(k)+ 1/vkw(k+1)

2*vkw(k+1)*vkw(k+1) - 1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)

2k+1 < 2*vkw(k)*vkw(k+1)

we kwadrateren beide leden: 4k²+4k+1< 4k²+4k (!)

eerste deel is bewezen.

op gelijkaardige manier bewijs je het tweede deel. aan u de eer..

best grappig

k dacht dat je moest stellen n=k en dan n=k+1 bewijzen..

je werkte juist met het getal m.

in ieder geval : een paar opmerkingen

n>=1 dus wortel(n+1)>=wortel(2)

nara mijn interpretatie moet gelden dat 1,2,3...n<=m

en dat ook moet gelden dat n+1<=m

want anders kun je niet sommeren

Anonymous

NIet schreef:best grappig

k dacht dat je moest stellen n=k en dan n=k+1 bewijzen..

je werkte juist met het getal m.

in ieder geval : een paar opmerkingen

n>=1 dus wortel(n+1)>=wortel(2)

nara mijn interpretatie moet gelden dat 1,2,3...n<=m

en dat ook moet gelden dat n+1<=m

want anders kun je niet sommeren

heb ik nooit beweerd.. en zo lukt het toch ook.

die opmerkingen, gaat dat over mijn antwoord of is dat een poging tot een andere methode?

Anonymous

Toon schreef:
NIet schreef:
best grappig

k dacht dat je moest stellen n=k en dan n=k+1 bewijzen..

je werkte juist met het getal m.

in ieder geval : een paar opmerkingen

n>=1 dus wortel(n+1)>=wortel(2)

nara mijn interpretatie moet gelden dat 1,2,3...n<=m

en dat ook moet gelden dat n+1<=m

want anders kun je niet sommeren
heb ik nooit beweerd.. en zo lukt het toch ook.

die opmerkingen, gaat dat over mijn antwoord of is dat een poging tot een andere methode?

poging tot iets anders..

.. het is gewoon raar

k denk dat je een k uit {1,2,3..,m-1} moet kiezen..zodat

k+1 ergens ligt in {2,3,....,m} en dan iets bedenken voor het bewijs

Anonymous

Er zit een fout in het gegeven bewijs, de gelijkheid blijft NIET behouden!

Neem aan a < b (inductieveronderstelling voor m=k). We moeten laten zien dat a' < b + c (voor m=k+1). We kunnen dan NIET stellen a' < a + c, omdat a < b.

Tegenvoorbeeldje: laat k=2, dan:

gegeven: 2sqrt(2)-2 < 1 + 1/sqrt(2).....................(0,8284 < 1,7071 idd)

nu is ook: 2sqrt(3)-2 < 1 + 1/sqrt(2) + 1/sqrt(3)...(1,4641 < 2,2845 idd)

Maar niet: 2sqrt(3)-2 < 2sqrt(2) - 2 + 1/sqrt(3).....(1,4641 < 1,4058 err)

Friendly Ghost

Klopt, dat volgt ook uit de uitwerking van Toon:

4k²+4k+1< 4k²+4k (!)

Deze ongelijkheid klopt namelijk niet, het linkerlid is juist groter dan het rechterlid

Anonymous

Toon schreef:we kwadrateren beide leden: 4k²+4k+1< 4k²+4k (!)

eerste deel is bewezen.

op gelijkaardige manier bewijs je het tweede deel. aan u de eer..

Toon, dit kan je toch niet menen!

Anonymous

een andere mogelijkheid is:

die m is 'constant' en verandert niet..

terwijl n verandert in {1,2,...,m}

als we de ongelijkheid willen bewijzen.. moeten we die bewijzen voor n=1 en n=m

want stel f(k)=SOm(n=1 tot n=k) van 1/wortel(k)

dan is f(1)=1/wortel(1)

f(2) =1/wortel(1)+ 1/wortel(2)

f(m)=1/wortel1+1/wortel2+....+1/wortel(m)

en je kunt zo nagaan dat

f(1)<f(2)<...<f(m)

dus het is voldoende om aan te tonen dat

2wortel(m)-2<f(1) (( makkelijk))

en bewijzen dat f(m)< 2wortel(2)-1

of wel

1/wortel1+1/wortel2+....+1/wortel(m)<2wortel(2)-1

deze is een stukje minder eenvoudig...

dit is geen bewijs met inductie..maar het moet wel werken..'following me'

RJ_

Ik volg je voor een groot deel 'NIet', maar ik moet het toch echt dmv volledige inductie presteren...

TomMe

eerste ongelijkheid:

basis: m=2

------------

2[wortel](2) - 2 < 1/1 +1/2 ok

inductiestap: we stellen dat het geldt voor m = k

--------------------------------------------------------

2[wortel](k) - 2 < greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n

Te bewijzen: hieruit volgt dat de stelling geldt voor m = k+1

Bewijs:

--------

we weten dat 2[wortel](k) - 2 < 2[wortel](k+1) - 2

Voldoende Te Bewijzen: 2[wortel](k) - 2 < greek034.gif n=1,k+1 1/[wortel]n

of ook:

2[wortel](k) - 2 < greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n + 1/

(k+1)

Ook weten we dat greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n > 2[wortel](k) - 2 (inductiestap)

Dus greek034.gif n=1,k 1/[wortel]n + 1/

(k+1) > 2[wortel](k) - 2 + 1/

(k+1)

Als we dus kunnen bewijzen dat 2[wortel](k) - 2 < 2[wortel](k) - 2 + 1/

(k+1) dan hebben we ineens ook het VTB bewezen.

<=> 0 < 1/

(k+1) triviaal

QED

Moest dit een fout bevatten, let me know..

Anonymous

TomMe

Ik zie het nog niet helemaal, dit is een andere uitwerking, wat gaat hier fout?

Afbeelding

RJ_

Ow dat was ik en t ging weer fout, ik bedoel deze:

http://putfile.com/pic.php?pic=9/25713315768.jpg&s=x1

of

Afbeelding

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inductie

Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie