Oneigenlijke integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 25

Oneigenlijke integraal

Ik wil graag de volgende oneigenlijke integraal oplossen:
\(\int_{0}^{5}\frac{1}{(x-1)^{2/3}} dx\)


Ik doe dit als volgt:
\(= \int_{0}^{5} (x-1)^{-2/3} dx\)
-
\(= \left [ 3(x-1)^{1/3} \right ]_{0}^{5}\)


- invullen van de grenzen geeft:
\(= 3(5-1)^{1/3} - 3(0-1)^{1/3}\)


- verder uitwerken geeft
\(= 3(4)^{1/3} + 3\)


Volgens het antwoord moet ik op een exact antwoord uitkomen en geen kommagetal. Mijn vraag is wat ik verkeerd doe?

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Oneigenlijke integraal

Beste awlandman,

Jouw uitkomst is volgens mij perfect.

alhoewel die 3demachtswortel uit -1 niet alleen een reele oplossing geeft, maar ook nog 2 imaginaire...
---WAF!---

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oneigenlijke integraal

alhoewel die 3demachtswortel uit -1 niet alleen een reele oplossing geeft, maar ook nog 2 imaginaire...
De derdemachtswortel uit -1 is geen 'vergelijking' en heeft dus ook geen 'oplossingen'. Iets anders dan gewoon -1, lijkt me niet de bedoeling.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Oneigenlijke integraal

Ik vind dat er een onduidelijkheid is in de opgave
\( (x-1)^{(-2/3)} \)
is niet gedefinieerd voor x kleiner dan of gelijk aan 1
\( ((x-1)^2)^{(-1/3)} \)
is overal gedefinieerd uitgenomen voor x= 1.

Ik vermoed dat die laatste interpretatie, in verband met die integraal de meest zinvolle is.

Er is dan alleen een moeilijkheid voor x=1. (oneigenlijke integraal)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Re: Oneigenlijke integraal

Het gaat om de functie in de vorm die awlandman geeft. Deze is volgens mij puntsymmetrisch rond x=1 en dus is het deel tussen 0 en 1 precies evengroot als dat tussen 1 en 2, alleen negatief. De integraal gaat dan over in het interval 2 tot 5 en dus
\(= 3(4)^{1/3} - 3\)
Alleen dat is ook geen geheel getal. Wat moet de uitkomst zijn Awlandman?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Oneigenlijke integraal

Dit
\(3\,{4}^{\frac{1}{3}}+3\)
is de uitkomst me dunkt. Je moet evenwel wel splitsen (0 tot 1 en 1 tot 5) uiteraard.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oneigenlijke integraal

Fernand schreef:Ik vind dat er een onduidelijkheid is in de opgave
\( (x-1)^{(-2/3)} \)
is niet gedefinieerd voor x kleiner dan of gelijk aan 1
Hoezo? Volgens mij bestaat die functie op heel R, behalve in x = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 25

Re: Oneigenlijke integraal

Ik weet niet wat het antwoord is. Alleen is het de bedoeling dat ik een exact antwoord geef, maar ik denk dat de een derde-machtswortel wel voldoet.

Het is dus de bedoeling dat ik de integraal opsplits in twee delen of niet?

Ik krijg dan:
\(\int_{0}^{1}\frac{1}{(x-1)^{2/3}} dx + \int_{1}^{5}\frac{1}{(x-1)^{2/3}} dx\)
en krijg dan vervolgens:
\( \left [ 3(x-1)^{1/3} \right ]_{0}^{1} + \left [ 3(x-1)^{1/3} \right ]_{1}^{5}\)
Klopt dit zo?

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Oneigenlijke integraal

Ja. Nu nog uitwerken.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Oneigenlijke integraal

Ik schreef :
\( (x-1)^{(-2/3)} \)
Hoezo? Volgens mij bestaat die functie op heel R, behalve in x = 1.
In verschillende cursussen analyse wordt een rationale macht van een reeel grondtal a enkel gedefinieerd voor

a niet negatief.

Misschien is dit niet zo in alle cursussen.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Oneigenlijke integraal

Fernand schreef:In verschillende cursussen analyse wordt een rationale macht van een reeel grondtal a enkel gedefinieerd voor

a niet negatief.

Misschien is dit niet zo in alle cursussen.
Dat kan je, 'om veilig te zijn', doen maar dat is eigenlijk te restrictief; in dit geval is er bv. geen probleem met negatieve grondtallen. Voor deze exponent geldt immers:
\(\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{x - 1}}} \right)}^2}}}\)
Er is dus geen probleem, de machtsverheffing is altijd goed gedefinieerd (in R).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer