Springen naar inhoud

Onderzoek van een natuurlijk logaritmische functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 december 2010 - 21:49

Hallo,

Ik moet volgende natuurlijk logaritmische functie onderzoeken, maar ik stuit op een aantal problemen (in het begin van m'n functieonderzoek):

LaTeX

Domein:
Dit is een samengestelde functie van de sinusfunctie en hier de neperse van.
Ik weet dat het domein van de LaTeX gelijk is aan R.
Nu voor de neperse moet er een voorwaarde zijn: de argument mag niet negatief zijn en ook niet 0.
Kan ik dan concluderen dat het domein van deze samengestelde functie:
Strikt positieve reele getallen met uitzondering van 0?

Continuitiet: De sinusfunctie is continu in haar domein en de neperse ook -> continu in haar domein.

Asymptoten:
(a) V.A: uitgesloten
(b) H.A:
- LaTeX
x->+;)
Nu zat ik te bedenken om er een onbepaaldheid van te maken die met L'Hopital kan opgelost worden, misschien iets in deze aard:
LaTeX
x->+;)

Dan krijg ik de Sin0=0 als H.A voor x-> + :)

Zou dat een goede aanpak zijn of kan het simpeler?

Veranderd door Prot, 10 december 2010 - 21:58


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 december 2010 - 22:15

Het is een periodieke functie.
0<sin(x)<=1, dat is je domein van de ln.
Er zijn dus ook verticale asymptoten en geen horizontale.

Denk hier eens over na en toon het aan.

#3

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 december 2010 - 22:25

Het is een periodieke functie.
0<sin(x)<=1, dat is je domein van de ln.
Er zijn dus ook verticale asymptoten en geen horizontale.

Denk hier eens over na en toon het aan.


Dus mijn domein is fout?
0<sin(x)<=1 is het domein, maar het bereik van de sinus ligt toch tussen [-1,1]?

Van een samengestelde functie mag ik toch het domein van de éné nemen en dat van de andere functie en dan conclusies trekken?

Het klopt toch dat de neperse functie nooit 0 of negatief kan zijn?
Ik begrijp niet zo héél goed wat je precies bedoelt?

Ten 2de voor de Asymptoten:
Onze leraar heeft ons altijd een trucje aangeleerd, bij een rationale functie moet er een pool zijn opdat er een V.A aanwezig is.

(wiskundig) weet ik dat je een reele waarde moet vinden waarvoor de limiet van de functie +/-oneindig wordt, dat kan hier toch alleen maar +oneindig zijn? -oneindig kan niet want daar is de functie niet gedefinieerd.

Maar x=+oneindig is toch geen V.A
Of slaag ik iets fundamenteel over?

Veranderd door Prot, 10 december 2010 - 22:27


#4

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 december 2010 - 22:31

Als f(x) = ln g(x), wat moet er dan gelden voor g(x)? Wat moet er hier dus gelden als g(x) = sin x?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#5

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 december 2010 - 22:53

Als f(x) = ln g(x), wat moet er dan gelden voor g(x)? Wat moet er hier dus gelden als g(x) = sin x?


Dat sin x >0?
Ik begrijp niet goed waarom 0<sinx<=1

Immers voor x=2 bestaat de sin toch ook?

Veranderd door Prot, 10 december 2010 - 23:01


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2010 - 09:07

Natuurlijk bestaat sin(x) voor x=2. Je moet hier naar sin(x) kijken, welke voorwaarde moet je aan sin(x) stellen om te zorgen dat ln(sin(x)) bestaat.
Nogmaals het gaat niet om het bestaan van sin(x), die bestaat voor elke x.
Waarom teken je de grafiek niet?
Teken dan ook bv: ln(sin(x)+2).

#7

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2010 - 11:30

Natuurlijk bestaat sin(x) voor x=2. Je moet hier naar sin(x) kijken, welke voorwaarde moet je aan sin(x) stellen om te zorgen dat ln(sin(x)) bestaat.
Nogmaals het gaat niet om het bestaan van sin(x), die bestaat voor elke x.
Waarom teken je de grafiek niet?
Teken dan ook bv: ln(sin(x)+2).


Ik heb erover nagedacht.
En ik begrijp zeker dat sinx>0, nu heb ik aan de goniometrische cirkel gedacht. De sin x neemt al haar waarden in het gesloten interval -pi/2->+pi/2 en heeft positieve waarden in [0,pi/2]. 0 is uitgesloten want sinx>0 en sin(pi/2)=1
Dus: 0<sinx<=1

Kan dit?

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2010 - 14:01

Het interval is 0<x<pi modulo 2pi.
Waarom maak je geen grafiek?

#9

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2010 - 17:02

Het interval is 0<x<pi modulo 2pi.
Waarom maak je geen grafiek?


Ok, ik zal er direct nog eens even over nadenken.

Wil je eerst even controleren of het domein van deze functie juist is dan kom ik daarna terug op de vorige vraag:

LaTeX
Dit is een exponentiele functie, maar e is zowizo positief dus sinx (de exponent) mag alle waarden aannemen, dus ik zou zeggen dat het domein gelijk is aan R.

Ok, terug vorige vraag.
Ik weet dat voor lnx geldt dat x>0, immers de neperse nemen van een negatief getal is ongedefinieerd.
Dus er moet zeker gelden dat sinx>0, dat is de eerste voorwaarde. Maar de sin x is niet overal>0.
Op de goniometrische cirkel is de sinx>0 in het 1ste en 2de kwadrant. Dus tussen 0 en pi, beide niet inbegrepen want sin 0 en sin pi geven beide 0. Maar als we de goniometrische cirkel nog is 2pi rondgaan komen we terug in die 2 kwadranten dus:
Ik zou zeggen x element van LaTeX

(Ik heb de grafiek getekend met mijn rekenmachine, maar ik vind het handiger als ik het zonder grafiek kan).

Veranderd door Prot, 11 december 2010 - 17:04


#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2010 - 19:01

LaTeX


Dit is een exponentiele functie, maar e is zowizo positief dus sinx (de exponent) mag alle waarden aannemen, dus ik zou zeggen dat het domein gelijk is aan R.

Prima!

Je hebt nu de eerste opgave ook door.

(Ik heb de grafiek getekend met mijn rekenmachine, maar ik vind het handiger als ik het zonder grafiek kan).

Deze opmerking begrijp ik niet.

#11

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2010 - 19:08

Deze opmerking begrijp ik niet.


Ja, op het examen zelf mogen we onze grafische rekenmachine niet gebruiken waardoor ik nogal relatief veel tijd zou verliezen met eerst het tekenen van de grafiek en dan pas te beginnen met het onderzoek. Of natuurlijk eerst héél het onderzoek doen en op het einde in de grafiek conclusies trekken i.v.m het domein, maar dat lijkt me onpraktisch.

Ok, nu ik was dus bezig met het functieonderzoek van die functie
De functie is dus continu in haar domein.
Bij de asymptoten was er ook een probleem.

1. H.A: Dus als de functie nadert naar -oneindig is er een probleem want daar is de functie niet gedefineerd net zoals voor x->+oneindig.
Conclusie: geen H.A

2. V.A: Er moet dus een waarde te vinden zijn waarvoor de functie +/- oneindig wordt. Meestal is het gemakkelijk, omdat we dan een rationale functie krijgen en waarbij de pool dus 0 is, ik kan dus niet meteen een waarde bedenken waarvoor de functie +/- oneindig zou kunnen worden.

Veranderd door Prot, 11 december 2010 - 19:10


#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 december 2010 - 22:29

Natuurlijk is er geen HA.
De functie is periodiek net zoals sin(x) periodiek is
VA zijn er in 0, p1, -pi, 2pi, -2pi, ... dus voor x=kpi, met k geheel.

Zonder grafiek zie je dit niet.

Veranderd door Safe, 11 december 2010 - 22:29


#13

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 december 2010 - 23:29

Natuurlijk is er geen HA.
De functie is periodiek net zoals sin(x) periodiek is
VA zijn er in 0, p1, -pi, 2pi, -2pi, ... dus voor x=kpi, met k geheel.

Zonder grafiek zie je dit niet.


Ik zie inderdaad als ik de grafiek teken dat voor LaTeX er V.A asymptoten zijn.

Maar als ik het met limiet notaties doe, krijg ik:
Stel ik laat x->0 (langs rechts naderen) maar juist niet 0 worden.
Dan krijg ik ln(sin(0,00000001)) dan bekom ik niet +/- oneindig, maar relatief kleine waarden.

LaTeX (relatief kleine waarden)
x->0
>

Maar grafisch stel ik inderdaad hetzelfde vast.

Veranderd door Prot, 11 december 2010 - 23:33


#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 12 december 2010 - 09:44

Bedoel je met relatief klein, zeer grote negatieve waarden? Zo ja, dan betekent dit toch dat je de VA x=0 van rechts willekeurig dicht nadert limiet voor x->0 gaat naar min oneindig.

#15

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 december 2010 - 09:55

Bedoel je met relatief klein, zeer grote negatieve waarden? Zo ja, dan betekent dit toch dat je de VA x=0 van rechts willekeurig dicht nadert limiet voor x->0 gaat naar min oneindig.


Niet echt, als je zo -18,24 groot kunt noemen?

Ik zal die limiet nog eens berekenen.
Stel ik kies k=0 dan krijg ik:
LaTeX (niet erg nauwkeurig, maar je kan zeggen dat het in de gebieden zo rond -20 ligt)
x->0
>

(Als dit opgehelderd is dan kan ik verder met m'n onderzoek, afgeleiden ... lukt me wel).

Veranderd door Prot, 12 december 2010 - 09:56






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures