Springen naar inhoud

Wat is er mis met mijn sqrt(2) bewijs?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mathnabee

    mathnabee


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 december 2010 - 00:20

Hallo,

ik heb vandaag nagedacht over een bewijs dat wortel 2 irrationaal is.
ik ben tot de volgende redenering gekomen maar vind hiervan niets terug. Waar ga ik de mist in?????

(vergeef me mijn stuntelige fomulering, wiskunde (en zeker bewijzen opstellen) is al even geleden)

Bewijs uit het ongerijmde:



stel dat sqrt(2) wel rationaal is, dan bestaan er natuurlijke getallen a,b waarvoor geldt:

[1.] a/b=sqrt(2)

bijgevolg geldt:

[2.] a^2/b^2=2

en dus

[3.] a^2=2*b^2

hieruit kunnen we stellen dat

[4.] a^2 < 2

immers de volgende ongelijkheid geldt

[4.1] b>1

dit halen we uit de ongelijkheid

[4.1.1] 1<a/b<2

1) sub-bewijs ongelijkheid 1<a/b

stel 1>=a/b
dan 1^2>=a^2/b^2
bijgevolg 1>=2 => contradictie

` 2) sub-bewijs ongelijkheid a/b <2 => evident (analoge redenering aan 1))

hieruit volgt dat ook dat

[4.1.2.] b>1

immers

1) indien b=0 dan zou a/b niet gedefinieerd zijn

2) indien b=1 dan zou 1<a<2 en dus a geen element zijn van de natuurlijke getallen

verder kunnen we uit [4.1] & [4.1.2] ook afleiden dat

`[4.2] 1<b<a

wegens [4.] en [2.] hebben we dan

[5.] a^2<a^2/b^2

dus

[6.] a^2*b^2<a^2 => contradictie


dank bij voorbaat voor jullie hulp!
mvg

Veranderd door mathnabee, 12 december 2010 - 00:24


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 december 2010 - 01:36

[3.] a^2=2*b^2

hieruit kunnen we stellen dat

[4.] a^2 < 2
[4.1] b>1
[4.2] 1<b<a

4.1 en 4.2 zijn niet genoeg om 4 te verklaren. Sel b = 123, dan kan a bijvoorbeeld 124 zijn...
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

mathnabee

    mathnabee


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 december 2010 - 10:12

wooops
;)

bedankt voor de feedback!
(het kan overigens zijn dat ik vaker met zulke dingen ga afkomen in de toekomst aangezien ik net road to reality aan het beginnen lezen ben, een boek waar de lezer wel vaker aangespoord wordt zelft te denken)

Veranderd door mathnabee, 12 december 2010 - 10:15


#4

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 13:47

Het gangbare bewijs dat sqrt(2) niet rationaal is gaat met deelbaarheid en niet met ongelijkheid (a deelbaar door 2, dus ook b deelbaar dan 2, maar dan kan de breuk vereenvoudigd worden). Maar, misschien is dat niet waar deze vraag om ging?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures