Domein van een logaritmische functie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 12-12-'10, 12:11

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Domein van een logaritmische functie

;)

Ik kom even niet uit een kleine onduidelijkheid.

Als we een logaritme hebben:
\(\log_{a}x=y\)
Er geldt dan toch voor de argument x dat deze >0, immers a^.. kan nooit negatief of 0worden.

Nu voor limieten te berekenen krijg ik soms te maken met ln0 en dat zou - ;) zijn.

Ik begrijp wel waarom, want e^{-oneindig} = 1/e^{oneindig}=1/{oneindig}=0

Maar 2 vragen hierbij:

De ln0 is toch niet gedefinieerd?

Kan het voor limietberekeningen dan wel, omdat x->0 maar juist niet 0 wordt?

Is
\(\lim(lnx}\)
=-oneindig

x->0
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 13:16

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Domein van een logaritmische functie

De logaritme bestaat niet in 0. Je kan wel de rechterlimiet nemen in 0 en op die manier zie je dat die - oneindig is.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 13:26

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Domein van een logaritmische functie

Een uitdrukking als
\(e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0\)
is klinkklare wiskundige onzin. Je kunt wel schrijven dat
\(\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{e^x}=0\)
. Verder dien je je te realiseren dat alog x alleen voor x>0 gedefinieerd is, zodat je allen rechterlimiet voor x naderend tot 0 kunt krijgen. Deze rechterlimiet bestaat echter niet. Je kunt wel schrijven dat
\(^a\log x\rightarrow -\infty\)
als
\(x\downarrow 0\)
.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 13:33

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Domein van een logaritmische functie

De limiet is de wiskundig 'nette' manier om zoiets weer te geven, in het punt zelf bestaat een functie niet, maar je kan intuïtief wel aanvoelen welke waarde de functie zou aannemen als hij daar wel zou gedefineerd zou zijn. Er valt over te discussiëren of een limiet =
\( -\infty\)
bestaat of niet (zie formele definities), dat is de discussie of een limiet eindig moet zijn om te bestaan.
\( \rr\)
kan echter uitgebreid worden tot
\(\overline{\rr}\)
namelijk door
\(\infty\)
toe te voegen.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 13:36

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Domein van een logaritmische functie

Bedankt voor de antwoorden.
De logaritme bestaat niet in 0. Je kan wel de rechterlimiet nemen in 0 en op die manier zie je dat die - oneindig is.
Ik was me er inderdaad van bewust dat de linkerlimiet niet bestond, want daar is de logx niet gedefinieerd. Wel als ik de limiet bereken voor x->0 (lang rechts naderen) dan krijg ik nogal een relatief grote waarde (niet veel groter dan -20), dus zeker niet - oneindig?
Een uitdrukking als
\(e^{-\infty}=\frac{1}{e^\infty}=\frac{1}{\infty}=0\)
is klinkklare wiskundige onzin. Je kunt wel schrijven dat
\(\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{e^x}=0\)
. Verder dien je je te realiseren dat alog x alleen voor x>0 gedefinieerd is, zodat je allen een uitdrukking als
\(\lim_{x\downarrow 0}^a\log x\)
kunt krijgen. Deze rechterlimiet bestaat echter niet. Je kunt wel schrijven dat
\(^a\log x\rightarrow -\infty\)
als
\(x\downarrow 0\)
.
Ik was me er inderdaad bewust van dat er zou gezegd worden dat 1/oneindig niet bestaat, maar enkel de limiet hiervan.

Maar ik begrijp het ongeveer nu wel, alhoewel zoals ik al zei bekom ik iets rond -20 voor logx (en x->0), dus zeker niet - oneindig?
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 13:45

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Domein van een logaritmische functie

Siron schreef:Bedankt voor de antwoorden.

Ik was me er inderdaad bewust van dat er zou gezegd worden dat 1/oneindig niet bestaat, maar enkel de limiet hiervan.

Maar ik begrijp het ongeveer nu wel, alhoewel zoals ik al zei bekom ik iets rond -20 voor logx (en x->0), dus zeker niet - oneindig?
Hoe ben je dit bekomen?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 14:29

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Domein van een logaritmische functie

Hoe ben je dit bekomen?


Door deze limiet te berekenen:
\( \lim(\ln(0))\)
x->0

>

Dit zou normaal - oneindig moeten geven? Als ik dat met m'n rekenmachine bereken bekom ik geen zeer kleine negatieve waarden, maar nogal redelijk grote waarden. Die waarden varieren naargelang het aantal decimalen, hoe meer decimalen dus hoe dichter tegen 0 hoe kleiner de (negatieve) waarde. Moet ik daaruit concluderen dat de limiet

- oneindig is?
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 17:14

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Domein van een logaritmische functie

Siron schreef:Door deze limiet te berekenen:
\( \lim(\ln(0))\)
x->0

>
Wat hier staat, heeft geen zin. Je bedoelt misschien:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln x = - \infty \)
Dat klopt...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 17:58

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Domein van een logaritmische functie

TD schreef:Wat hier staat, heeft geen zin. Je bedoelt misschien:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln x = - \infty \)
Dat klopt...
Ja inderdaad. Ik denk dat ik er nu wel uit ben, ik heb het vooral nodig om limieten te berekenen.

Het is toch correct als ik het volgende zeg:
\(\lim \ln x\)
-> bestaat niet (want de ln(-oneinding) is niet gedefinieerd)

x-> - ;)
Omhoog

Bericht 12-12-'10, 17:59

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Domein van een logaritmische functie

Inderdaad, ln(x) is enkel voor x>0 gedefinieerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”