Vermoeden over e

sjasogun1

Ik heb het volgende vermoeden:

Als

\(f(x)=\lim_{n \rightarrow 0}\begin{array}{ccc} \frac{x}{\frac{2x}{3x}} \\ \vdots \\ \frac{(n-1)x}{nx}\)

dan

\(f'(x)=e\)

Zou iemand weten hoe ik dit kan bewijzen?

Rogier

Ik snap je notatie niet helemaal. Je neemt de limiet voor n naar 0 van iets wat een soort reeks (herhaaldelijk delen) over n lijkt te bevatten..?

Anders gezegd, als bijvoorbeeld n=0.01, wat is dan f(x) ?

f'(x)=e houdt dat trouwens in dat f(x) van de vorm f(x)=xe+C is, dus een lineaire functie.

Safe

Gaat n naar 0???

flamey

Volgens mij is je vermoeden onjuist. Je herhaaldelijke deling (als je dat bedoelt met je notatie) kun je schrijven als een product, die je dan kan uitwerken (ik speelde vals door Mathematica te gebruiken):

\(f(x)=x/2x/3x/4x/...../nx=\prod_{k=2}^{n}\frac{x}{kx^{n-1}}=\frac{x^{3n-2}(x^{-n})^n}{n!}\)

. Differentiatie en vervolgens de limiet te nemen geeft

\(\frac{-2}{x^3}\)

Of je bedoelde met je notatie het volgende:

\(f(x)=x/(2x/3x)/(4x/5x)...../((n-1)x/nx)=x\frac{(2m+1)!!}{2m!!}\)

. Differentiatie en je limiet nemen geeft 1! In deze laatste uitdrukking heb ik dan gebruikt dat het alleen zinnig is als n oneven is!

sjasogun1

Sorry, ik had enorme haast toen ik dit typte!

Het limiet moet naar oneindig gaan, niet naar nul, als het naar nul gaat kan dit inderdaad nooit.

Ook moet n altijd een natuurlijk getal zijn (1,2,3,4,5,6,7.....), anders loopt het ook spaak.

Ook moest er nog bij dat het niet geldt voor

\(n=0\)

en

\(x=0\)

, want dan deel je door nul en dat kan natuurlijk niet. Ik heb dit vermoeden gebaseerd op het gewoon wat aanmodderen met mijn grafische rekenmachine, waarmee ik deze functie heb kunnen uitvoeren tot een beperkte waarde van n, wat een waarde oplevert die verdacht dicht tot e nadert. Ook heb ik al ontdekt dat het uitmaakt of n even of oneven is.

bijvoorbeeld,

sqrt(7)/2*sqrt(7)/3*sqrt(7)/4*sqrt(7) = 1/2/3/4

en

sqrt(7)/2*sqrt(7)/3*sqrt(7)/4*sqrt(7)/5*sqrt(7) = (1/2/3/4/5)*sqrt(7)

Ook dit heb ik nog niet kunnen bewijzen, maar ik denk eigenlijk dat dit al ooit eens bewezen is..... tenminste, dat hoop ik...

P.S.: Sorry dat ik deze keer geen LaTeX heb gebruikt, ik ben er nog niet erg handig in en ik kreeg deze herhaalde breuken er niet goed op...

P.P.S.: De eerste deling klopte, flamey, het is gewoon de normale volgorde voor herhaalde breuken, de onderste twee eerst, dan die daarboven delen door de uitkomst, enz... Op die manier is 1/2/3 niet gelijk aan (1/2)/3 = 1/6 maar aan

1/(2/3)=1,5

<script type="text/javascript">graph(-10,10,-10,10,300,300,600,600,'x/(2*x/(3*x/(4*x/(5*x/(6*x/(7*x/(8*x/(9*x/(10*x/(11*x/(12*x/(13*x/(14*x/(15*x/(16*x/(17*x/(18*x/(19*x/(20*x/(21*x))))))))))))))))))))')</script>

Laat maar, mijn vermoeden klopt niet. Op deze grafiek voor n=21 is al duidelijk te zien dat de richtingscoefficient veel groter is dan e. De afgeleide zal dus

\(f'(x)=\infty\)

zijn.

Er mag van mij een slotje op, tenzij iemand nog een afdoende bewijs wil leveren, alhoewel het voor mij niet hoeft, aangezien mijn stelling al ontkracht is.

flamey

Ah ok, je kan zonder verlies van algemeenheid aannemen dat n oneven is. Er is uiteindelijk maar 1 x, want alle andere kun je tegen elkaar wegstrepen. Het is niet moeilijk om in te zien dat we dan hebben:

\( f'(x)=\frac{(2m+1)!!}{2m!!} \)

waarbij we n=2m+1 konden stellen, want als n even is, is de volgende vermenigvuldiging/deling met 1. Neem de limiet m naar oneindig en je ziet het voor je neus gebeuren.

sjasogun1

Hartstikke bedankt voor je uitleg, flamey. Ik heb er met mijn wiskundeleraar nog even naar gekeken (we snapten de dubbele faculteiten eerst niet helemaal, maar dat is gewoon om er voor te zorgen dat alleen de oneven getallen gebruikt worden), en daarna snapten we het wel.

Nogmaals bedankt, hier mag een slotje op

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vermoeden over e

Vermoeden over e

Re: Vermoeden over e

Re: Vermoeden over e

Re: Vermoeden over e

Re: Vermoeden over e

Re: Vermoeden over e

Re: Vermoeden over e