Voor cartesische vergelijking y = f(x) geldt:
Kromtestraal =
\( \frac{(1+y'^2)3/2}{|y"|} \)
Omzetten naar parametervergelijkingen
x = u(t)
y = v(t)
notatie:
met y' bedoelen we dy/dx
met u' bedoelen we du/dt = x'(t)
met v' bedoelen we dv/dt = y'(t)
nu is
\( = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{v'}{u'} \)
\( y"(x) = \frac{dy'}{dx} = \frac{(v'/u')'}{u'} \)
\( = \frac{u' v" - v' u"}{u'^3} \)
en nu de kromtestraal
\( \rho = | \frac { ( 1 + (v'/u')^2)^{3/2}} {(u' v" - v' u")/u'^3} | \)
\( \rho = | \frac { (u'^2 +v'^2)^{3/2}} { (u' v" - v' u")} | \)
Dus
\( \frac{1}{\rho(t)} = |\frac {x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{ (x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2} } | \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.