Buigpunten gladde boog

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 51

Buigpunten gladde boog

Om de buigpunten in een vlakke, gladde boog te berekenen staat er onze cursus (na afleiding ) :
\(\frac{1}{\rho(s)}\)
\(\vec{N}\)
= 0 , dus
\(\frac{d^2x}{ds^2}\)
= 0 en
\(\frac{d^2y}{ds^2}\)
= 0 , met s = booglengte (parameter)

Nu staat er dat, om de buigpunten van een gladde (vlakke) boog te berekenen die parametervoorstelling P(t) heeft ipv P(s), de vergelijking x'(t)y"(t)-y'(t)x"(t) = 0 de buigpunten weergeeft. Kan er mij iemand zeggen hoe men dit heeft afgeleid/ hoe men aan deze formule is gekomen?

Alvast bedankt;

Yannick W.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Buigpunten gladde boog

Er geldt:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\)
. Wat krijg je als je dit naar t differentieert en dan gelijik stelt aan 0?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Buigpunten gladde boog

Een rechtstreekse benadering via
\( \frac{1}{\rho(t)} \)
is



Als een kromme parametervoorstelling P(t) heeft dan is
\( \frac{1}{\rho(t)} = |\frac {x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{ (x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2} } | \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Berichten: 51

Re: Buigpunten gladde boog

@mathreak : Oke, nu zie ik het. Gewoon afleiden en dan de teller gelijk stellen aan 0, bedankt !

@Fernand : Kan je een afleiding geven hoe men daar aan komt want dat zie ik zo 1 2 3 niet. Dank.

Yannick W.

Gebruikersavatar
Berichten: 368

Re: Buigpunten gladde boog

Voor cartesische vergelijking y = f(x) geldt:

Kromtestraal =
\( \frac{(1+y'^2)3/2}{|y"|} \)
Omzetten naar parametervergelijkingen

x = u(t)

y = v(t)

notatie:

met y' bedoelen we dy/dx

met u' bedoelen we du/dt = x'(t)

met v' bedoelen we dv/dt = y'(t)

nu is
\( = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{v'}{u'} \)
\( y"(x) = \frac{dy'}{dx} = \frac{(v'/u')'}{u'} \)
\( = \frac{u' v" - v' u"}{u'^3} \)
en nu de kromtestraal
\( \rho = | \frac { ( 1 + (v'/u')^2)^{3/2}} {(u' v" - v' u")/u'^3} | \)
\( \rho = | \frac { (u'^2 +v'^2)^{3/2}} { (u' v" - v' u")} | \)
Dus
\( \frac{1}{\rho(t)} = |\frac {x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{ (x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2} } | \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.

De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

Reageer