Springen naar inhoud

Toepassing differentiaal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Darkwar

    Darkwar


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 12:59

Opdracht:

Een kegelvormig vat (top beneden) heeft hoogte h=3 m en straal R=2 m.
Op t=0 is het vat volledig gevuld met water. Het water lekt uit de kegel via een vierkante opening met een zijde van 5 cm.
Bereken na hoeveel tijd het vat nog een derde van het oorspronkelijk volume water bevat.
Stel daarvoor eerst de differentiaalvergelijking op die toelaat om de waterhoogte in het vat in functie van de tijd te bepalen.




Oplossing:

beginvoorwaarde:

Op t= 0
LaTeX

Oppervlakte vierkante opening O = 0.052=0,0025 m2



Dan veronderstellen een kleiner volume op een later tijdstip en stellen de hoogte van die kegel gelijk aan y en de straal gelijk aan R:


Via gelijkvormigheid bekom ik:

LaTeX


Nu is mijn vraag hoe ik de verandering van inhoud in de tijd beschrijf?

Ik weet dat ik de wet van Torricelli moet gebruiken:
namelijk v=LaTeX


hoe moet ik nu verder om tot een differentiaalvergelijking te komen?


alvast bedankt ;)

Bijgevoegde miniaturen

  • schets_4.jpg

Veranderd door Darkwar, 22 december 2010 - 13:09


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 14:48

Via de massabalans: dm/dt = massa_in - mass_uit, (massa_in is in dit geval 0)

#3

Darkwar

    Darkwar


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 16:08

Via de massabalans: dm/dt = massa_in - mass_uit, (massa_in is in dit geval 0)


Moet je dan nergens die uistroomsnelheid in rekening brengen?

instroom = 0

uitstroom = LaTeX

en aangezien dat LaTeX

dus

uitstroom= LaTeX


dus indien we nu de balans nemen:

LaTeX


en dan kan ik die differentiaal oplossen door de beginvoorwaarde dat :

t=0

LaTeX



Oplossen van differentiaal:

Stel LaTeX


LaTeX

Via scheiding der variabelen oplossen:



Indien ik dit oplos bekom ik: LaTeX


Maar hoe kan ik dan zoals het gevraagde bepalen na hoeveel tijd er nog een derde van het oorspronkelijke volume aanwezig is?

#4

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 16:51

Indien y de actuele hoogte is op tijdstip t, dan geldt:

LaTeX dus: LaTeX (zoals jezelf al hebt gevonden)

LaTeX , volumestroom uit: LaTeX .

LaTeX , hieruit y oplossen door integreren + beginvoorwaarde

#5

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 16:56

Ik heb een fout gemaakt:

LaTeX

moet zijn:

LaTeX

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 december 2010 - 17:15

Als LaTeX
Moet dan dV/dt niet zijn:
LaTeX

Veranderd door aadkr, 22 december 2010 - 17:21


#7

Darkwar

    Darkwar


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 18:32

Als LaTeX


Moet dan dV/dt niet zijn:
LaTeX


dus daaruit volgt dat :

LaTeX


na wat veranderen van de leden:

LaTeX

kan ik die wortel (sqrt(2.g.y) )nu nog splitsen of moet ik die zo meenemen in de dv?


en die differentiaal ga ik nu oplossen met een pakket zoals maple,

#8

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 20:15

Sorry voor de tweede fout (dank u aadkr!!!!), haastige spoed .........

Nu ben je toch bijna waar je wezen moet:

LaTeX kan je schrijven als:

LaTeX

Integreren met beginvoorwaarde (t=0, y=h, h=2m)

Dan hoogte he bepalen waarvoor geldt dat Ve = V/3. Na subs van y=he kan t bepaald worden.

#9

Darkwar

    Darkwar


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 20:56

Sorry voor de tweede fout (dank u aadkr!!!!), haastige spoed .........

Nu ben je toch bijna waar je wezen moet:

LaTeX

kan je schrijven als:

LaTeX

Integreren met beginvoorwaarde (t=0, y=h, h=2m)

Dan hoogte he bepalen waarvoor geldt dat Ve = V/3. Na subs van y=he kan t bepaald worden.


ik heb de differentiaal met Maple opgelost

de y waarbij het volume een derde is van het beginvolume is:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

y=2.08


Na invullen in de opl van de Differentiaalvergelijking bekom ik een tijd van ongeveer 2 seconden

Bijgevoegde miniaturen

  • maple_4.jpg

#10

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 21:23

Als ik naar dat "vat" kijk: 4 m diameter en 3 m hoog met een tamelijk kleine uitloop (diameter 5 cm) dan geloof ik niet dat er na 2 s 2/3 van de inhoud er uit gelopen is.

Je kan eea ook zeer eenvoudig zelf integreren, stel:

LaTeX

#11

Darkwar

    Darkwar


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 21:43

Als ik naar dat "vat" kijk: 4 m diameter en 3 m hoog met een tamelijk kleine uitloop (diameter 5 cm) dan geloof ik niet dat er na 2 s 2/3 van de inhoud er uit gelopen is.

Je kan eea ook zeer eenvoudig zelf integreren, stel:

LaTeX



dan door scheiding der variabelen:

LaTeX

LaTeX


LaTeX


nu bepalen we de constante uit de beginvoorwaarde: y(0)=3

LaTeX

als en slechts als C = +3

dus de particuliere oplossing is :

LaTeX




Nu blijft de bepaling van y op het ogenblik van een derde van het volume geldig van hierboven : y= 2.08m


Dit vullen we in in de particuliere oplossing

en we bekomen

LaTeX

LaTeX

nu kunnen we via solver bekomen dat:

wil hij dat niet uitrekenen

waar zit de fout ergens?

Veranderd door Darkwar, 22 december 2010 - 21:53


#12

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 21:57

Bij vorige bericht te snel op de verkeerde knop gedrukt:


LaTeX , dan LaTeX na integratie LaTeX

met begin voorwaarde t=0, y=h=3 :LaTeX

t voor y = LaTeX (2.08) volgt t=471.5 s

#13

Darkwar

    Darkwar


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 22:12

Bij vorige bericht te snel op de verkeerde knop gedrukt:


LaTeX

, dan LaTeX na integratie LaTeX

met begin voorwaarde t=0, y=h=3 :LaTeX

t voor y = LaTeX (2.08) volgt t=471.5 s


Heb het eens nagerekend manueel en daarna met Maple en die waarde klopt nu inderdaad!


Maple geeft als waarde t=471.5147742


Bedankt voor de steun ;)

#14

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2010 - 22:23

De aanhouder wint. nogmaals verontschuldigingen vanwege de foutjes.

#15

iemand111

    iemand111


  • 0 - 25 berichten
  • 1 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 15:36

Heb het eens nagerekend manueel en daarna met Maple en die waarde klopt nu inderdaad!


Maple geeft als waarde t=471.5147742


Bedankt voor de steun ;)



Darkwar zit toevallig niet aan de kaho? :)
Deze uitleg heeft me veel geholpen ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures