Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

nLight

Gegeven is volgende :

Afbeelding

Gamma = 10 kN/m^3 (water)

L = afstand AB

Er is gevraagd wat de resulterende drukkracht is. Om dit te berekenen splits ik deze F op in een horizontale en verticale component. De resulterende horizontale = 0 (heffen elkaar op), dus er blijft enkel een verticale component over.

Hier wringt het schoentje, ik kan er niet goed aan uit hoe ik dit nu juist moet berekenen.

Dit is al mijn poging :

\(F_{verticaal} = F_{CDE} - F_{AC}- F_{BE}\)

\(F_{CDE} = \gamma * L *(3,5 - 1,2) * 2 \)

+ gewicht van cilinder (??)

\(F_{AC} = F_{BE} = \gamma * 1.2 * (2,4/2 - L/2) \)

+ gewicht van (cirkelsegment*dikte) (???)

Kan iemand mij zeggen waar ik juist/fout ben? Ik zou ook helemaal niet weten hoe ik het gewicht van dat cirkelsegment moet berekenen ;

\(\gamma * V\)

, met V : A * 2 (dikte) , maar wat is die A?

Alvast bedankt

Yannick

bessie

Ik kan geen wijs uit je plaatje en uit je vraag.

Ligt de cylinder vast in de bodem, en kan het water er onder door stromen of niet (vastgelast of in zand geduwd).

Ten tweede, welke kracht moet er berekend worden, ik neem aan van het water op de cylinder? Volgens mij kun je het oplossen met archimes, zonder integreren, maar dat hangt af van mijn eerdere vragen.

nLight

De originele vraag is : Een 2m lange cilinder, diameter 2,4m, sluit de opening af van een tank gevuld met water. Bereken de resulterende drukkracht op de cilinder.

bessie

Het gaat dus om de druk van het water op de cylinder. De cylinder wordt voorlopig verondersteld zwaarder te zijn dan water en te zinken, danwel vastgelast te zijn aan de bodem. Er stroomt geen water door de bodem, er is geen druk op het deel dat door de bodem steekt. Misschien dat daardoor later de veronderstellingen (vastlassen etc) kunnen vervallen, omdat blijkt dat de resulterende kracht zowieso al neerwaarts is.

Denk aan de Archimedeskracht. Een ondergedompelde cylinder wordt door het water omhooggeduwd met een kracht, gelijk aan het volume maal SG water. Die kracht wordt veroorzaakt door dezelfde drukverschillen als die er we zoeken, op de onderzijde van een voorwerp is de waterdruk hoger (dieper) en dus wil het voorwerp omhoog. Alleen mogen we de bodem niet meetellen. Ook het eigen gewicht hoeven we niet te tellen, dat wordt niet gevraagd.

De druk op de bodem kun je uitrekenen, die kun je immers gelijkdenken aan een platte bodem met oppervlak D.L.cos(30) dus 2,4x2,0x1/2xwortel(3). De diepte onder water is 3,5 m dus daar is de waterdruk bekend, 0,35 bar=3,5x10^4 Pa. Klopt dat?

Nu moet de kracht van het water op de cylinder gelijk zijn aan zijn volume maal 1000 Pa, minus de eerder berekende kracht op de bodem. Moet jij alleen nog het volume van dat deel van de cylinder bepalen, dat aan water is blootgesteld.

OK?

Jan van de Velde

Ik zou het probleem willen aanpakken door krachten op verschillende segmenten van de tank te bepalen en daarvan de resulterende kracht te bepalen. We zijn het er al over eens dat horizontaal alles tegen elkaar wegvalt, zodat we alleen naar de verticale componenten hoeven te kijken van de krachten op elke vierkante millimeter tankwand die is blootgesteld aan het water.

Dat moet kunnen met integralen, dan wel door eenvoudig te bepalen stukken tank rechthoekig te maken (eigenlijk ook integralen) , zodat we alleen horizontale oppervlakken op een gemiddelde diepte voor dat segment krijgen.

zoiets:

: tank.png (13.36 KiB) 705 keer bekeken

Of zeg ik nou iets heel doms?

robertus58a

Hoewel bewerkelijk kan eea opgelost worden door de krachten te integreren (Jan van de Velde):

Neem een x-y stelsel door middenpunt van cilinder dan geldt:

dF = P.dA =

\(\rho.g.(h1-y)ds.L\)

met h1 afstand van waterniveau tot x-as (= 3.5-0.6=2.9m), y punt op cilinder

Deze kracht werkt loodrecht op lijnstukje ds. Beschouw alleen de vertikale komponent van de kracht,

\(dFv = sin(\phi).F\)

(

\(\phi\)

is hoek die de lijn (x,y) met oorsprong maakt) en ga over op poolcoordinaten

\(x=R.cos(\phi), y=R.sin(\phi), ds = Rd\phi\)

\(dFv = \rho.g.L.(h1-R.sin(\phi)).sin(\phi).R d\phi\)

, Totale kracht is te vinden door 2*dFv te integreren tussen

\(-\pi/6........\pi/2\)

\(Fv = 2.\rho.g.L.R\int (h1-R.sin(\phi)).sin{(\phi)} d\phi\)

=

\(Fv = 2.\rho.g.L.R\int (h1.sin(\phi)+\frac{R}{2}.cos(2\phi) - \frac{R}{2}) d\phi\)

, (1)

nb. indien je integreert tussen

\(-\pi/2........\pi/2\)

dan heb je het geval van een volledig ondergedompelde cilinder:

\(\pi.R^2 .L.\rho.g\)

(hetgeen je dan natuurlijk eenvoudiger met Archimedes bepaalt)

Ben benieuwd of dit resultaat (1) ook via de methode van Jan van de Velde wordt verkregen.

bessie

: wet.GIF (2.01 KiB) 704 keer bekeken

Ik geef voor de volledigheid nog even mijn oplossing, hopelijk kan deze worden gecontroleerd adhv bovenstaande oplossingen:

r=1,2 m=6/5 m

Het oppervlak van het cirkelsegment is 4/3.pi.r^2=4/3.36/25.pi=1/75 pi.

De twee driehoeken samen zijn r^2/4wortel(3)=9/25 wortel (3).

Het volume van de cylinder is dus (L=2)

\(V=2.(9/25\sqrt3+1/75\pi)\)

Het gewicht van het verplaatste water is 10kN xV.=133,1 kN

De druk op 3,5 m diepte is 35 kN/m2, het oppervlak van het gat is 2.r/2 wortel 3=2,1 m2 dus de kracht is 72,7 kN.

De resulterende kracht naar boven, op een lichaam met de vorm van de afgeplatte cylinder, is (ongeacht de diepte) 133 kN naar boven. Deze wordt veroorzaakt door de druk op de bodem min de neerwaartse druk op de rest van de mantel, noem die F.

Dus 73 kN - F = 133 kN, ofwel F=73 -133=-60 kN, ofwel 60 kN opwaarts.

Ik vind dit een vreemd resultaat maar zie geen fout in de redenering.

Jan van de Velde

Redenerend volgens het systeem in mijn eerdere afbeelding kom ik aan een netto neerwaarts gerichte kracht als gevolg van de hydrostatische druk op de cilinder van 66,2 kN.

Dat is wat minder dan bessie vindt. Een van ons twee (of allebei) maakt dus reken- en of inschattingsfouten.

Het plaatje klopt trouwens ook niet volgens mij, want met de aangegeven hoek van 120° is dat gat niet 2 m breed, maar 2,078 m (r·sin(60°) x 2)

robertus58a

Integratie van :

\(Fv = 2.\rho.g.L.R\int (h1-R.sin(\phi)).sin{(\phi)} d\phi\)

(1) tussen

\(-\pi/6........\pi/2\)

geeft:

\(\frac{\rho.\.g.L.R \left(3\, \sqrt{3}\, R - 8\, \pi\, R + 12\, \sqrt{3}\, \mathrm{h1}\right)}{12}\)

met

\(\rho, g , L, R, h1 \)

= 1000, 10, 2, 1.2, 2.9 (3.5-0.6), Fv = 72703 N (Naar beneden gericht, dus geen resulterende opwaartse kracht!!)

Indien de cilinder meer naar boven gemonteerd zou worden dan is er een punt waarbij de neerwaartse kracht gelijk is aan de opwaartse kracht. Dit is indien het middelpunt van de cilinder 1.06m (sin(62.2^o)*1.2m), boven de bodem van de tank zou zitten (ipv sin(30^o)*1.2m = 0.6m).

nb. integratie van (1) tussen

\(-\pi/2........\pi/2\)

(cilinder volledig omgeven door vloeistof) levert

\(- \pi\, L\, R^2\, g\, \rho\)

. Dit is de verificatie van vergelijking (1).

Jan van de Velde

hmm, dan moet ik dus ergens een rekenfout van ongeveer 7 kN gemaakt hebben, dát of jullie houden er nog steeds geen rekening mee dat het gat 4% breder is dan op de tekening staat vermeld?

robertus58a

4% ????. Breedte gat is mi.

\(R\sqrt{3}\)

Jan van de Velde

en dat is 2,078 m, terwijl op de tekening 2 m staat vermeld. Dat is toch een verschil van 4%?

robertus58a

2m is de lengte van de cilinder

Jan van de Velde

ah zo, ik las die 2 m als de afstand tussen de twee binnenste stippelstrepen

: tankgat.png (4.29 KiB) 703 keer bekeken

Ok, niks gezegd dus

.

nLight

Het juiste antwoord zou 74 kN moeten zijn, maar ik heb als einduitkomst in mijn notities 72,8 kN, dus dat kan wel kloppen, ik net nog even uitzoeken hoe bessie dit juist heeft opgelost.

Alvast al heel erg bedankt voor de moeite !

Yannick W.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder

Re: Hydrostatica : ondergedompelde cilinder