Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 45

Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

Dit is de opgave met oplossing uit het boek Stewart Calculus 5th edition.

Om de opgave beter te kunnen begrijpen probeerde ik hetzelfde bewijs op een iets andere manier te schrijven. In de originele opgave stonden de rood omlijnde gedeelten er nog niet in. Door dit toe te voegen denk ik dat het paars omlijnde gedeelte weggelaten mag worden.

Afbeelding

Mijn 3 vragen zijn dus:

Zijn de rood omlijnde toevoegingen correct?

Zo ja, mag het paarse gedeelte dan weggelaten worden (misschien in verband met dubbelen informatie)?

Zo nee, wat veranderd er dan aan het bewijs zodat het niet meer correct is?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

Nee, je moet voor elke e>0 (e voor epsilon) een d>0 (d voor delta) kunnen vinden zodat ... (zie definitie). Om te tonen dat dit steeds lukt, geef je die delta in functie van epsilon, op zo'n manier dat bij elke willekeurig gekozen e, die delta werkt. Je kan die delta net na het paars omkaderde stuk niet op die manier kiezen, als er nog geen epsilon is...! Veronderstel dus een zekere positieve e>0 gekozen, maar verder willekeurig, en kies dan delta precies zo dat d = e²; dan geldt... (vervolg bewijs).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 45

Re: Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

Ik snap waarom het paarse gedeelte niet weg gehaald mag worden, bedankt. Ik had een denkfout gemaakt bij de rode toevoeging. Daardoor koppelde ik het paarse gedeelte aan het rode.

Alleen in het rode deel toevoegen zie ik geen conflict. Ik vindt de rode toevoeging zelf logischer dan zonder.

Neem dus ε> 0 en δ = ε²

0 < x < δ

[wortel]0 < [wortel]x < ;) δ = [wortel]e² = ε (Trek overal de wortel van en vervang delta door ε²)

0 < ;) |x-0| < ε

Dit bewijst dat :) |x-0| < ε

Berichten: 7.068

Re: Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

Alleen in het rode deel toevoegen zie ik geen conflict.
Dat is er ook niet. Het is echter overbodig. Het heeft geen invloed op de validiteit van het bewijs.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

merk op dat
\( \sqrt{x}\)
en
\(|\sqrt{x}-0|\)
allebei per definitie al groter dan nul zijn, dus het heeft geen enkele zin om dat er nog eens apart bij te vermelden.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

Berichten: 45

Re: Onduidelijkheden over het bewijzen van een limiet 2

Ik had deze toevoegingen erbij gedaan, omdat ik niet snapte hoe het bewijs precies werkte. Zonder de toevoeging (niet kijkend of het bewijs correct is) kan je het op 2 manieren opvatten:

De juiste manier stond in mijn vorige post, maar je kon het ook op deze manier interpreteren:

Interpretatie 2

Neem dus ε> 0 en δ = ε²

0 < x < δ daarbij hoort waarschijnlijk [wortel]x<ε

Neem: [wortel]x<ε

[wortel]x < ε = ;) δ = ;) ε² = ε

:) |x-0| < ε

Als de schrijvers dat rode gedeelte hadden toegevoegd (0<), had ik direct geweten dat het deze interpretatie(interpretatie ) zeker niet kon zijn en had het de andere iterpretatie moeten zijn. Ze gaan ervanuit je het bewijs inhoude lijke snapt. Had ik dat direct gesnapt dan was het vanzelfsprekend geweest om (0<) niet toe te voegen. Maar ik snapte dat niet, dus door die missende informatie wist ik niet op welke manier ik het kon interpreteren.

Reageer