Springen naar inhoud

Eigen bewijs van een limiet correct?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 december 2010 - 21:06

Dit is een vraag uit een Stewart Calculus 5th edition. De eerste regel komt uit het boek, de rest heb ik zelf toegevoegd. Ik heb geprobeerd het format uit het boek aan te houden.


Geplaatste afbeelding

Mijn vragen zijn Is dit correct?
Zo nee, wat niet en waarom?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 december 2010 - 21:14

Het is niet goed want de waarde van delta mag alleen van epsilon afhangen en niet van x

Met elke eps moet een delta corresponderen die allleen van delta afhangt.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 december 2010 - 21:17

Het is niet goed want de waarde van delta mag alleen van epsilon afhangen en niet van x

Met elke eps moet een delta corresponderen die allleen van delta afhangt.


Waarom, want het maakt niet uit welke x je invult in dit geval. |x + 3| wordt toch altijd weggedeelt op het eind van het bewijs?

Veranderd door extremefun1, 24 december 2010 - 21:24


#4

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 december 2010 - 21:51

Om een limiet te bewijzen moet het bewijs voldoen aan de definitie van limiet van een functie.
En in die definitie staat dat er met elke epsilon een delta moet corresponderen en dat die delta alleen
maar van eps mag afhangen.

Het is nu ook zo dat men niet alle limieten kan bewijzen door enkel op die definitie te steunen.
De oefeningen die daarover gegeven worden worden gewoonlijk zo gekozen dat het
'doenbaar' is.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#5

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 december 2010 - 22:57

Ik snap je punt. Je zei in je vorige post ook al dat epsilon alleen van delta af mag hangen. Dat hoort bij de definitie van een limiet.

Dat snap ik, maar mijn vragen zijn:
Bij elke x deelt |x-3| zichzelf altijd weg in het einde van het bewijs.
Als |x-3| zich altijd zich wegdeelt in het bewijs, kan epsilon toch nooit x afhangen? Dus hangt het epsilon zich toch alleen maar af van delta?

#6

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 10:16

Als je schrijft LaTeX
dan hangt delta af van x .

Als je schrijft LaTeX
dan hangt delta niet af van x onafhankelijk van het bewijs dat volgt.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 december 2010 - 11:11

Dus hangt het epsilon zich toch alleen maar af van delta?

Dit is het essentiŽle punt: epsilon hangt niet af van delta, maar net andersom: bij elke epsilon is er een delta ... !
Hier staat dus dat delta van epsilon afhangt.

#8

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 18:01

Dit is het essentiŽle punt: epsilon hangt niet af van delta, maar net andersom: bij elke epsilon is er een delta ... !
Hier staat dus dat delta van epsilon afhangt.


De exacte definitie is:
als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε.

ik zie niks in mijn bewijs dat hiermee in strijd is. voor elke x klopt elk stuk van de definitie.
"voor alle x met 0 < ......." (zie definitie hierboven vermeld) Dit is zo omdat elke |x-3| zichzelf wegdeelt in mijn bewijs.

Ook voor elke x zijnε>0 enδ>0. Dus dit is ook niet in strijd met de definitie.
Ook zie ik nergens staan dat delta niet deels van x mag afhangen. Vooral als bij elke x elk deel van de definitie klopt.

#9

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 18:24

Vergeet m'n vorige post, zat op de iPad te typen ging mis en kon niet meer wijzigen ;)


Ik snap je punt. Het boek gaat ook met een constante werken, als ze het antwoord geven. Maar waarom? Ik zie geen tegenstrijdigheden met de definitie.

Het klopt, epsilon hang van x af bij het kiezen van een delta bij voor het bewijs jah, maar waar staat dat niet mag? Als je voor elke x de definitie van het limiet gewoon klopt, dan is er toch niks aan de hand.

Verklaring:

De exacte definitie is:
als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε.


"voor alle x met 0 < ......." kom ik gewoon op uit in min eerste post, omdat elke |x-3| zichzelf wegdeelt in mijn bewijs.

Ook zijn epsilon en delta beiden altijd groter dan nul, ongeacht welke x.

Ik zie dus geen tegenstrijdigheden, algebraÔsch gezien.

Daar kom ik op uit als ik logisch nadenk.

#10

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 18:29

Als er in de definitie staat :

Als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodanig dat ...

Dan bedoelt men daarmee dat eenmaal een epsilon gekozen is, de waarde van delta vastligt en dus niet meer verandert met een x waarde .

In het voorbeeld dat je gaf , uit de cursus, in een vorig bericht kan je ook zien dat delta niet van x afhangt.

Veranderd door Fernand, 25 december 2010 - 18:32

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 december 2010 - 18:32

De exacte definitie is:
als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat, zodanig dat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat | f(x) − L | < ε.

ik zie niks in mijn bewijs dat hiermee in strijd is.

Je hebt niet een LaTeX . Dat is in strijd met de definitie. Met andere woorden, als ik zeg dat ik graag een delta wil weten die bij 'epsilon is 3' hoort, dan wil ik geen functie, maar een getal.

#12

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 20:13

Je hebt niet een LaTeX

. Dat is in strijd met de definitie. Met andere woorden, als ik zeg dat ik graag een delta wil weten die bij 'epsilon is 3' hoort, dan wil ik geen functie, maar een getal.


Dan wel jah , maar je wil toch weten of er voor elke epsilon een delta is? Het kan toch zijn dat er voor elke x in die functie van epsilon een delta is? Dan is er toch nog niks aan de hand.

#13

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 20:16

Zie de laatste post in http://www.wiskundef....php?f=8&t=4101
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#14

extremefun1

    extremefun1


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 20:48

Je hebt niet een LaTeX

. Dat is in strijd met de definitie. Met andere woorden, als ik zeg dat ik graag een delta wil weten die bij 'epsilon is 3' hoort, dan wil ik geen functie, maar een getal.


Ik snap dat er een getal gezocht wordt en geen functie, omdat de exacte definitie van een limiet dit dicteert.

Mijn vraag is dus. Waarom kan het geen functie zijn?

Het kan toch zijn dat epsilon een functie is van x. Als je dan kan bewijzen dat voor elke x uit deze functie een epsilon gegenereerd wordt groter dan 0. En dat bij elke epsilon er een delta is waarbij.....(rest van definitie).

#15

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 december 2010 - 21:28

Het kan toch zijn dat epsilon een functie is van x.

Nee, je moet bij een gegeven ε > 0 een bijbehorende δ > 0 zien te vinden zodat voor alle x met 0 < | x - a | < δ geldt dat
|f(x) − L | < ε. Het is echter niet zo dat ε een functie is van x, aangezien ε niet afhankelijk is van x.

Veranderd door mathreak, 25 december 2010 - 21:31

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures