Springen naar inhoud

Algebraische/geometrische multicipliteit en karakteristieke polynoom


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2010 - 17:29

Hoi,

Ik heb over 3 weken tentamenweek van Lineare Algebra en ik vind de Algebraische en geometrische multicipliteit en de karakteristieke polynoom een beetje vaag. De leraar ging er nogal snel overheen in de colleges maar er zitten in de oefententamens toch wel een aantal vragen over. Zou iemand mij een voorbeeld hiervan kunnen geven en wat uitleg (liefst uitleg aan de hand van een voorbeeld). Alvast bedankt ;)

M.v.g.
Yamibas

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2010 - 21:42

Misschien helpt de volgende link

http://www.win.tue.n.../week72Y650.pdf


De multipliciteit van een eigenwaarde (algebraische multipliciteit) is niet noodzakelijk gelijk aan de dimensie van zijn eigenruimte (geometrische multipliciteit).

Er staat een klein voorbeeld op de link.

Veranderd door Fernand, 26 december 2010 - 21:53

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2010 - 22:14

Nog een voorbeeld:

Neem matrix A

A = [[2, 2, -2], [5, 1, -3], [1, 5, -3]]

De karakteristiek vergelijking is LaTeX

De algebraische multipliciteit van LaTeX is 3.

Bereken nu de eigenruimte welke met LaTeX correpondeert en dan zie je dat
de dimensie van die ruimte 1 is. De geometrische multipliciteit= 1.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#4

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 12:40

Umm de eigenruimte is het opspansel van de eigenvectoren? Dus in dit geval is er maar 1 eigenvector dus het opspansel is de R^1 en is dus de dimensie gelijk aan 1? En dus de dim(eigenruimte) = geometrische multipliciteit of klopt dat niet?

De karakteristieke vergelijk is niks anders als de polynoom die volgt uit LaTeX . En de algebraische multipliciteit is niks anders als de hoogste macht uit de polynoom.

DIT ALLES DENK IK, dus als het niet klopt leg ook even uit waarom niet en wat het dan wel is.

Wat ik wel zeker weet weet is dat de geometrische multipliciteit niet groter kan zijn dan de algebraische multipliciteit

Veranderd door Yamibas, 27 december 2010 - 12:41


#5

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 13:48

De karakteristieke veelterm is inderdaad niks anders als de polynoom die volgt uit
LaTeX
Als je die veelterm ontbindt in factoren dan is de graad van de factor die behoort bij een eigenwaarde
de algebraische multipliciteit van de eigenwaarde.
Hier is die ontbinding LaTeX . De eigenwaarde 0 heeft algebraische multipliciteit 3.

In een andere toepassing kan je bijvoorbeeld krijgen
LaTeX .
Dan is de algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 2 gelijk aan 1 en
de algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 3 gelijk aan 2.

In ons voorbeeld is er maar 1 eigenwaarde namelijk nul.
Daarmee bereken je de bijbehorende eigenvectoren


Voor eigenvectoren los je het volgend stelsel op. De 0 in het rechterlid is de eigenwaarde.

[ 2 2 -2] [x] [x]
[ 5 1 -3] [y] = 0 [y]
[ 1 5 -3] [z] [z]


x + y - z = 0
5x + y - 3z = 0
x + 5y - 3z = 0


Gezien det(A)= 0 en de eerste twee vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn
is de laatste vergelijking is een lineaire combinatie van de vorige en kunnen
we de derde vergelijking schrappen.
Brengen we de termen in z naar het rechter lid dan zien we duidelijk dat voor elke z er 1 oplossing is.
De dimensie van de ruimte opgespannen door de oplossingen (oplossingsruimte of eigenruimte van eigenwaarde 0) is 1.
Die dimensie is de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde.

De dimensie van die oplossingsruimte kan niet groter zijn dan 3.
en inderdaad kan de geometrische multipliciteit niet groter zijn dan de algebraische.

Veranderd door Fernand, 27 december 2010 - 13:58

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 december 2010 - 14:44

Umm de eigenruimte is het opspansel van de eigenvectoren? Dus in dit geval is er maar 1 eigenvector dus het opspansel is de R^1 en is dus de dimensie gelijk aan 1? En dus de dim(eigenruimte) = geometrische multipliciteit of klopt dat niet?

De span is in dat geval inderdaad eendimensionaal, maar daarom niet "R^1"; het is de ruimte voortgebracht door die ene eigenvector (dus een rechte door de oorsprong die alle veelvouden van deze vector bevat). De dimensie van de eigenruimte, horend bij een zekere eigenwaarde, is de geometrische multipliciteit, van die eigenwaarde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 22:08

In een andere toepassing kan je bijvoorbeeld krijgen
Bericht bekijken

De span is in dat geval inderdaad eendimensionaal, maar daarom niet "R^1"; het is de ruimte voortgebracht door die ene eigenvector (dus een rechte door de oorsprong die alle veelvouden van deze vector bevat). De dimensie van de eigenruimte, horend bij een zekere eigenwaarde, is de geometrische multipliciteit, van die eigenwaarde.



Wat ik hieruit dus moet concluderen is dat er meerdere algebraische multipliciteiten zijn, voor elke gevonden lambda 1. En de geometrische multipliciteit is gelijk aan de dimensie die de eigenvectoren opspannen (zoals hierboven gezegd).

Bv.:
Ik krijg (x-0)^3(x-6). Dan is de eerste algebraische multipliciteit gelijk aan 3 en de 2e is gelijk aan 1. De eerste geometrische multipliciteit is gelijk aan 2, omdat er voor x twee oplossing zijn namelijk: 0 en 6. De dimensie van het opspansel van de eigenvectoren is hierdoor ook 2?

Veranderd door Yamibas, 27 december 2010 - 22:09


#8

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 22:22

Wat ik hieruit dus moet concluderen is dat er meerdere algebraische multipliciteiten zijn, voor elke gevonden lambda 1.

Dat is correct

Zo is er ook voor elke eigenwaarde een geometrische multipliciteit!

En de geometrische multipliciteit is gelijk aan de dimensie die de eigenvectoren opspannen (zoals hierboven gezegd).


Dat is ook goed op voorwaarde dat je daarbij denkt aan 1 specifieke eigenwaarde en aan de eigenruimte opgespannen
door de eigenvectoren van die eigenwaarde

Bv.:
Ik krijg (x-0)^3(x-6). Dan is de eerste algebraische multipliciteit gelijk aan 3 en de 2e is gelijk aan 1.

dus 3 voor eigenwaarde 0 en 1 voor de eigenwaarde 6.

De eerste geometrische multipliciteit is gelijk aan 2, omdat er voor x twee oplossing zijn namelijk: 0 en 6. De dimensie van het opspansel van de eigenvectoren is hierdoor ook 2?


dit is niet goed.

De geometrische multipliciteit kan je maar kennen door eerst voor de eigenwaarde de eigenvectoren te berekenen
en dan de dimensie van de eigenruimte te bepalen.
(zie het voorbeeld met het stelsel hierboven)
En je moet dit doen voor elke eigenwaarde afzonderlijk.

Kijk eens goed in je cursus hoe je eigenvectoren van een bepaalde eigenwaarde kan berekenen.
en herbekijk dat het voorbeeld.

Veranderd door Fernand, 27 december 2010 - 22:31

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#9

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 23:53

Voor eigenvectoren los je het volgend stelsel op. De 0 in het rechterlid is de eigenwaarde.


[ 2 2 -2] [x] [x]
[ 5 1 -3] [y] = 0 [y]
[ 1 5 -3] [z] [z]


x + y - z = 0
5x + y - 3z = 0
x + 5y - 3z = 0


Gezien det(A)= 0 en de eerste twee vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn
is de laatste vergelijking is een lineaire combinatie van de vorige en kunnen
we de derde vergelijking schrappen.
Brengen we de termen in z naar het rechter lid dan zien we duidelijk dat voor elke z er 1 oplossing is.
De dimensie van de ruimte opgespannen door de oplossingen (oplossingsruimte of eigenruimte van eigenwaarde 0) is 1.
Die dimensie is de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde.

De dimensie van die oplossingsruimte kan niet groter zijn dan 3.
en inderdaad kan de geometrische multipliciteit niet groter zijn dan de algebraische.


Hoe kom je aan det(A) = 0. Is A de matrix die je hebt gegeven? Ik neem aan dat je geeft dat de eerste 2 vergelijking lineair onafhankelijk zijn.

Maar dit volg ik niet:

De dimensie van de ruimte opgespannen door de oplossingen (oplossingsruimte of eigenruimte van eigenwaarde 0) is 1.
Die dimensie is de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde.

Hoezo is dat? Zou je dat nog eventjes uit kunnen leggen?

P.S.: Alvast bedankt voor al je hulp ;)

#10

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 10:33

A is de gegeven matrix
Eenmaal de eigenwaarden gevonden kan je per eigenwaarde de eigenvectoren berekenen.
Maar de eigenvectoren zelf heb je niet nodig om de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde te kennen.

Algemene methode voor het bepalen van de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde:
Neem nu even dat r een eigenwaarde is.
Dan schrijf je het stelsel voor het berekenen van de eigenvectoren

A.X = r X

Hierin is A de gegeven matrix en X is de kolommatrix van een onbekende eigenvector.
In ons voorbeeld was r= 0

Je brengt in het stelsel alles naar linkerlid.

In ons voorbeeld was dit


x + y - z = 0
5x + y - 3z = 0
x + 5y - 3z = 0



Men kan aantonen dat de dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde r gelijk is aan :

(aantal vergelijkingen in het stelsel) - (het aantal onafhankelijke vergelijkingen uit dit stelsel)

of ook

(aantal vergelijkingen in het stelsel) - (rang van de coefficientenmatrix van het stelsel)

In ons voorbeeld hadden we drie vergelijkingen en twee onafhankelijke vergelijkingen, dus
de dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde 0, was 1.
En dan is ook de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde =1.

of ook:
In ons voorbeeld hadden we drie vergelijkingen en de rang van de coefficientenmatrix van het stelsel is 2,
dus de dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde 0 was 1.
En dan is ook de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde =1.

Als je dat alles begrijpt kan ik eens een ander voorbeeld geven als oefening.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#11

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 20:53

Snap het op 2 dingen na. Hoe weet je dat er 2 onafhankelijk zijn en wat is de coefficientenmatrix? Een matrix die bestaat uit de eigenwaarde (m.a.w. de diagonaalmatrix?). Als dit duidelijk is moet ik wel een voorbeeld op kunnen lossen. Nogmaals hartelijk dank voor al je hulp ;)

#12

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 21:12

Hoe weet je dat er 2 onafhankelijk zijn

Twee vergelijkingen zijn lineair afhankelijk als en slechts als de ene vergelijking een veelvoud is van de andere

Voorbeeld
2x + 3y -z = 3 en 6x +9y -3z = 9

Is dit niet het geval dan zijn die twee vergelijkingen lineair onafhankelijk.

Drie vergelijkingen zijn lineair afhankelijk als en slechts als 1 van die vergelijkingen een lineaire combinatie is van de andere twee.

voorbeeld
2x + 3y -z = 3 en x + y + z = 0 en 7x + 10y -2z = 9
De derde vergelijking is 3 maal de eerste plus de tweede

en wat is de coefficientenmatrix?

Voorbeeld


3 x + y - 8z = 4
5x + 7y - 3z = 5
x + 5y - 3z = 0



De coefficientenmatrix van het stelsel is

[ 3 1 -8]
[5 7 -3]
[ 1 5 -3]



---------------------------------------------------
Voorstel :

Los de volgende oefening op en laat de resultaten eens zien.
Als er moeilijkheden komen herlees eens vorige berichten of vraag uitleg.

Neem de matrix A =
LaTeX

De karakteristieke veelterm is LaTeX .
Dit kan je eventueel narekenen.

Wat zijn de eigenwaarden?

Wat is de algebraische multipliciteit van elke eigenwaarde?

Wat is de geometrische multipliciteit van elke eigenwaarde en staaf je antwoord.

--------------------------------------

Veranderd door Fernand, 28 december 2010 - 21:17

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#13

Yamibas

    Yamibas


  • >100 berichten
  • 164 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 00:56

Ik ben een heel eind gekomen.
Ik kom uit op dezelfde karakteristieke polynoom. Lambda(1)=0 met een algebraische multipliciteit van 2 en Lamba(2)=1 met een algebraische multipliciteit van ook 2. Maar voor de eigenvectoren kom ik op een rare vergelijking uit... Ofja raar het kan best kloppen. Maar hoe toen ik aan dat ze lineair onafhankelijk/afhankelijk zijn?
Of mag ik al direct zeggen omdat de vector x en v (zie 2e en 3e plaatje) geen veelvoud van elkaar zijn in de coefficientenmatrix dat ze lineair onafhankelijk zijn en dat dus de geometrische multipliciteit gelijk 2 (zie uitleg voor 2 hieronder).

Indien lineair onafhankelijk geldt geometrische multipliciteit = 2 en bij lineair afhankelijk geometrische multipliciteit is 1 toch?

Antwoord staven: Dat kan want geometrische multipliciteit = algebraische multipliciteit en dat kan gewoon ;) Als de geometrische multipliciteit groter was dan 2 dan klopte het niet.

Ik heb wat foto's gemaakt van me uitwerkingen.
Ik hoop dat je ze kan lezen (mocht het niet lukken typ ik het wel uit).
http://img17.imagesh.../img0170hu.jpg/
http://img840.images...i/img0171d.jpg/
http://img291.images.../img0174gg.jpg/

Hartelijk bedankt voor de hulp.

P.S.: Nu komt de volgende vraag bij mij. Indien de vectoren x en v correct zijn, wat zijn dan de eigenvectoren?

Veranderd door Yamibas, 29 december 2010 - 01:07


#14

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 08:53

Bespreking van je oplossing:

De berekening van de karakteristieke determinant is ok.
De eigenwaarden zijn juist.
De algebraische multipliciteit is goed voor de twee eigenwaarden.

Dan heb je eigenvectoren berekend.

Deel 1: eigenwaarde = 0

Dan heb je eigenvectoren berekend en je bekomt:
x1 = -x3
x2 = -x4
x3 = m (willekeurig)
x4 = w (willekeurig)
Dit is OK
Voor elke waarde van m en w (niet beide nul) krijg je een eigenvector.
Er zijn dus oneindig veel eigenvectoren.
Samen vormen ze de eigenruimte.
Omdat je twee componenten (x3 en x4) willekeurig kan kiezen is de dimensie van de eigenruimte 2.
De geometrische multipliciteit is dus 2. Verder meer daarover.


Deel 2: eigenwaarde = 1
Dan heb je eigenvectoren berekend en je bekomt:
x1 = m (willekeurig)
x2 = w (willekeurig)
x3 = 0
x4 = 0
Dit is OK
Voor elke waarde van m en w (niet beide nul) krijg je een eigenvector.
Samen vormen ze de eigenruimte.
Omdat je twee componenten (x1 en x2) willekeurig kan kiezen is de dimensie van
de eigenruimte 2.
De geometrische multipliciteit is dus 2.


Nu is ook je vraag :'wat zijn dan de eigenvectoren?' beantwoord.

Alles was dus zeer goed. ;)
------------------
Nu iets over die afhankelijkheid en zo.
Het gaat wel over de afhankelijkhed van de vergelijkingen van het stelsel.

Deel 1:

Voor de eigenwaarde 0 krijgen we het stelsel
(Ik schrijf onbekenden x,y,z,t voor het gemak van het typwerk)

0x + 0y + 0z + 0t = 0
0x + 0y + 0z + 0t = 0
1x + 0y + 1z + 0t = 0
0x + 1y + 0z + 1t = 0

Het aantal vergelijkingen is 4.
Het aantal onafhankelijke vergelijkingen uit dit stelsel is 2 (namelijk de twee laatste)
Of met de andere korte methode : de rang van de coefficientenmatrix is 2.

De dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde 0 is dus gelijk aan 4 - 2 = 2.
De geometrische multipliciteit van die eigenwaarde 0 is 2.

Je ziet dat je de eigenvectoren niet nodig hebt om de geometrische multipliciteit te bepalen


Deel 2:

Voor de eigenwaarde 1 krijgen we het stelsel


-1x + 0y + 0z + 0t = 0
0x + -1y + 0z + 0t = 0
1x + 0y + 0z + 0t = 0
0x + 1y + 0z + 0t = 0

Het aantal vergelijkingen is 4
Ze zijn niet onafhankelijk want de laatste vergelijking is een veelvoud van de tweede.
Laten we de laatste weg dan zijn de eerste drie niet onafhankelijk want de derde
vergelijking is een veelvoud van de eerste.
Laten we de derde ook weg, dan zien we duidelijk dat de eerste twee onafhankelijk zijn
want de ene is geen veelvoud van de andere. Er zijn dus 2 onafhankelijke vergelijkingen.

Of met de korte methode: de rang van de coefficientenmatrix is 2.

De dimensie van de eigenruimte van de eigenwaarde 1 is dus gelijk aan 4 - 2 = 2.
De geometrische multipliciteit van die eigenwaarde 1 is 2.

Je ziet dat je de eigenvectoren niet nodig hebt om de geometrische multipliciteit te bepalen
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#15

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 10:52

Nog een aanvulling op de bespreking van je oplossing. (vorig bericht)

Indien de vectoren x en v correct zijn, wat zijn dan de eigenvectoren?


Die vectoren zijn correct.

Jouw vector x stelt de eigenruimte voor welke correspondeert met eigenwaarde 0.
Voor elke M en W waarde krijg je een eigenvector.
De eigenruimte wordt opgespannen door de twee vectoren
LaTeX en LaTeX
Die twee vectoren zijn onafhankelijk want de ene is geen veelvoud van de andere.
Ze vormen een basis van een 2-dimensionale eigenruimte.
Hieruit volgt, op een derde manier, dat de geometrische multipliciteit van die eigenwaarde gelijk is aan 2.

Analoge redenering voor de vector v.

Veranderd door Fernand, 29 december 2010 - 11:01

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures