Springen naar inhoud

Scattering amplitude


  • Log in om te kunnen reageren

#1

hylk0r

    hylk0r


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 17:37

Hoi,
Ik probeer een opgave te maken (4.28a) uit het boek Introduction to elementary particles maar ik kom er niet helemaal uit. Ik moet de scattering amplitudes bepalen van enkele processen.

LaTeX

Het probleem is een beetje dat in het desbetreffende hoofdstuk niet staat hoe je de scattering amplitude moet berekenen. Er worden wel twee voorbeelden genoemd, waarbij de scattering amplitude wordt uitgedrukt als een amplitude voor isospin 3/2 (LaTeX ) en isospin 1/2 (LaTeX ) maar het is me niet helemaal duidelijk hoe ik het moet aanpakken.
Kan iemand me hier mee helpen?
Mvg,
Hylke Donker
Boe!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 december 2010 - 23:48

De exacte opgave ware misschien wel handig geweest...

Dit is niet echt mijn vakgebied, maar ik kan je wel een beetje op weg zetten. Misschien heeft iemand een meer bevredigend antwoord...
Het komt erop neer 2 isospins te koppelen tot een totale isospin |I, M_I> a.h.v. Clebsch Gordan coŽfficiŽnten.
Dus iets van de vorm |I1, m_I1> |I_2, m_I2> = zekere lineaire combinatie van |I, M_I> waarbij de coŽfficiŽnten van die lineaire combinatie niets anders zijn dan de Clebsch Gordan coŽfficiŽnten. (hť, met zo van die dingen als m_I1 + m_I2 moet = m_I, anders is de C-G coŽfficiŽnt = 0 en I moet gelijk zijn aan |I_1-I_2|, |I_1-I_2| +1,..., I_1 + I_2 )

Je moet dan kijken naar de overlap tussen de 2 golffuncties van het systeem, dus die van de begintoestand (voor de reactie) |Psi_i> en die van de eindtoestand (na de reactie) |Psi_f> . Zoiets als <Psi_f | Psi_i> Je weet ook dat |I, M_I> een ortho(normale?)gonale basis is.

De reden waarom je dit kan doen is omdat den proton en een neutron eigenlijk hetzelfde zijn (ze zitten dan ook in een isospinmultiplet I = 1/2), op de z component van de isospin (en een verwaarloosbaar massaverschil) na. Hetzelfde geldt voor de pionen. Deze zitten in een I = 1 multiplet.
Je maakt hierbij allerlei soorten aannames die ik mij niet meer kan herinneren vrees ik.

Veranderd door aestu, 28 december 2010 - 00:00


#3

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 09:32

Merk misschien nog op dat je dingen berekent als LaTeX . Die M die daar staat is afkomstig van de Hamiltoniaan H in dit matrixelement. Je gaat ervan uit dat die +- dezelfde is voor alle toestanten met een bepaalde isospin. Ze gebeuren allemaal via de sterke wisselwerking, als ik mij niet vergis.

#4

hylk0r

    hylk0r


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 11:17

Bedankt voor je reactie, maar ik moet zeggen dat ik er nog niet helemaal uit ben. Stel ik neem reactie:
LaTeX
In deze reactie is de isospin van LaTeX gelijk aan LaTeX wat levert LaTeX waarbij LaTeX en LaTeX Clebsch-Gordan coŽfficiŽnten zijn. Dit kan ik ook doen voor de deeltjes na het proces LaTeX en dan komt er een vergelijkbaar isospin uit LaTeX waarbij LaTeX en LaTeX ook Clebsch-Gordan coŽfficienten zijn. Maar noem je deze isospin toestanden nu LaTeX en LaTeX voor respectievelijk voor en na de reactie? Want LaTeX is toch de kansdichtheid van een deeltje? En ik moet zeggen dat ik ook niet helemaal zie hoe de amplitude M volgt uit de Hamiltoniaan.
Boe!

#5

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 12:49

Ik ben het niet eens met alle 2 je ontbindingen. m1 + m2 moet = M. Dit is niet waar bij jou. Dus dat klopt niet.

Voor het andere zal ik mijn best proberen doen:
We zeggen eigenlijk dat het enigste dat relevant is in deze reactie, dat dit het verschil in isospin is. We bekijken immers de sterke wisselwerking en een pi+ is ongeveer hetzelfde als een pi0 en een pi-. Alleen de isospin verschilt. De rest maakt niet uit. Dus als golffunctie voor dit systeem nemen we alleen het relevante deel, dus dat stuk dat de isospin beschrijft.
Hoe bereken je de overgangswaarschijnlijkheid van een toestand i naar f? Door de matrixelementen te berekenen.
Laat H de hamiltoniaan zijn, die hoort bij deze overgang, dan wordt de overgangswaarschijnlijkheid bepaald door
LaTeX
en een aantal factoren die ons niet interesseren.
We zeggen dat dat die Hamiltoniaan H eigenlijk alleen een functie is van de isospin van de toestand waarop hij werkt, maar voor de rest constant is. Die amplitude, vb. M_3 voor I = 3/2, bevat allerlei soorten informatie, maar daarin zijn we niet geÔnteresseerd. Dus die H vegen we onder de mat en steken we in die M.
Dan krijg je een som van zo'n dingen als

LaTeX

Veranderd door aestu, 28 december 2010 - 12:52


#6

hylk0r

    hylk0r


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 15:42

Ah, je hebt gelijk, klein foutje van mij. Het moet inderdaad zijn:
LaTeX
en
LaTeX
Stel ik weet de Clebsch-Gordan coefficienten (ik kan die opzoeken op http://en.wikipedia.....n_coefficients), wat zou in dit geval dan de overlap zijn in termen van LaTeX en LaTeX ?
Ik vind het fijn om een voorbeeldje te zien, want in het boek staat er eigenlijk geen voorbeelden of uitleg gegeven.

Veranderd door hylk0r, 28 december 2010 - 15:43

Boe!

#7

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 16:31

Je neemt gewoon het inproduct tussen beide golffuncties en zet een M_3 erbij als je twee |3/2,...> combineert en M_1 als je twee |1/2,..> combineert.

Je zal nooit kruistermen krijgen omdat deze allemaal orthogonaal op elkaar staan. Ik bedoel: <I_1, m_1 | I_2, m_2> = 0 tenzij I_1 = I_2 ťn m_1 = m_2. Dus je combineert steeds de |3/2,1/2> met elkaar en de |1/2,-1/2>.

M = a*g <3/2,1/2|H|3/2,1/2> + b*d <1/2,-1/2|H|1/2,-1/2> met * de complexe toevoeging.
Die <3/2,1/2|H|3/2,1/2> gaat naar M_3 en <1/2,-1/2|H|1/2,-1/2> wordt een M_1. De details zelf weet ik niet.
a*gM_3 + b*d M_1 als ik mij niet vergis.

Veranderd door aestu, 28 december 2010 - 16:31


#8

hylk0r

    hylk0r


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 17:48

Hartstikke bedankt. Hier kan ik zeker wat mee.
Boe!

#9

aestu

    aestu


  • >250 berichten
  • 254 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 18:25

Als iemand het beter kan uitleggen of er fouten in staan, voel u aub zo vrij om ze te verbeteren.

Veranderd door aestu, 28 december 2010 - 18:26






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures