Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 28-12-'10, 20:32

druidz

Berichten: 102

Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

Hier ben ik weer eens met een vraagje. Ik was verder bezig om de bepaalde integraal zelfstandig een te overlopen, en toen ik op een bepaalde formule kwam was ik een beetje verward. Het gaat om de volgende formule:
\( \lim_{x \to (+ \inf )} ( \Delta x \sum^n_{i=1} f(x_i)) = \int_a^b f(x) dx \)
Ik begrijp wel hoe deze formule in elkaar steekt en voor wat die dient, maar de x_i vind ik verwarrend. Dat is een willekeurige waarde in het deelinterval. Maar hoe reken je met die x_i?

neem bijvoorbeeld de volgende oefening waar je de integraal moet bepalen door een meetkundige interpretatie:
\( \int_0^1 \sqrt{1-t²} dt \)
Hoe bereken je deze integraal dan met de formule? Je kan het makkelijk berekenen door middel van het GRM, maar dat is de bedoeling volgens mij niet.

Ik dacht dat je als
\( \Delta x \)
dan
\( \frac{1}{n} \)
moest nemen, en dan de autosom met je GRM moest nemen, maar dan komt die x_i me verwarren.

Kan iemand me even helpen? Alvast bedankt.
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 20:55

robertus58a

Berichten: 216

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

Integreren is meetkundig voor te stellen als een oppervlakte bepaling. Om de bepaalde integraal tussen 0 en 1 te bepalen kan je bijvoorbeeld dit interval in 10 (n=10) stukjes onderverdelen.

Het oppervlak (of de bepaalde integraal) is dan bij benadering: 0.1* (f(0) + f(0.1) + f(0.2) + f(0.9)).

Het resultaat zal nauwkeuriger zijn indien n groter wordt. Bij n = oneindig krijg je de analytische oplossing.
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 20:57

druidz

Berichten: 102

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

Ja dat weet ik wel, maar hoe bereken je dat dan aan de hand van de formule die ik daar vanboven heb gezet? (de limiet op oneindig). Want als je het in 250 intervallen deelt kom jenog steeds niet uit op de werkelijke oppervlakte.
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 21:03

druidz

Berichten: 102

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

En met het voorbeeld van x² was de formule voor (1²+2²+...+n²) gegeven, waarmee je de limiet op oneindig kon berekenen. Bij deze functie is dat niet het geval en hoe je eraan begint weet ik ook niet. Moeten we ook niet kennen.
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 22:05

robertus58a

Berichten: 216

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

In het algemeen zal je de sommatie niet in een expliciete formule kunne uitdrukken. Ik weet niet of er een expliciete sommatie voor deze functie bestaat.
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 22:19

druidz

Berichten: 102

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

dus bij de oefening zal ik het dan volledig met behulp van me rekenmachine moeten doen?
Omhoog

Bericht 28-12-'10, 22:42

robertus58a

Berichten: 216

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

Ik weet niet 100% zeker of er een explicite sommatie bestaat. Wellicht kunnen anderen hierbij helpen. In ieder geval succes
Omhoog

Bericht 29-12-'10, 12:32

Xenion

Gebruikersavatar
Berichten: 2.609

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

Voor die xi neem je meestal een waarde als:

- de maximale waarde van de functie in het interval

- de minimale waarde van de functie in het interval

- een willekeurige waarde van de functie in het interval

- de waarde van de functie in het midden van het interval

Naarmate je de intervallen smaller neemt en er dus meer nodig hebt om de integraal te berekenen wordt zo'n som nauwkeuriger en je kan intuïtief wel zien dat ze in de limiet wel allemaal aan elkaar gelijk worden => de bepaalde integraal.

Ik heb zelf nooit met een grafische rekenmachine gewerkt, maar ik denk dat je de 2 laatste manieren wel vrij eenvoudig kan berekenen met zo'n autosom.
Omhoog

Bericht 30-03-'11, 10:43

kreeftje888

Gebruikersavatar
Berichten: 23

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

\( \int_0^1 \sqrt{1-t²} dt \)
oke, als je dit zonder GR wil bereken doe je het volgende:

1. je neemt de primitive van
\( \sqrt{1-t²} \)


2. je vult deze primitive in voor t=1 en voor t=0 (begrenzingen van de formule) en trekt de uitkomsten van elkaar af

in formules:
\( \int_0^1 \sqrt{1-t²} dt = [primitive van \sqrt{1-t²}]\)
10
Omhoog

Bericht 30-03-'11, 13:23

Siron

Gebruikersavatar
Berichten: 1.069

Re: Meetkundige betekenis v.d. bepaalde integraal

kreeftje888 schreef:
\( \int_0^1 \sqrt{1-t²} dt \)
oke, als je dit zonder GR wil bereken doe je het volgende:

1. je neemt de primitive van
\( \sqrt{1-t²} \)


2. je vult deze primitive in voor t=1 en voor t=0 (begrenzingen van de formule) en trekt de uitkomsten van elkaar af

in formules:
\( \int_0^1 \sqrt{1-t²} dt = [primitive van \sqrt{1-t²}]\)
10
Er is gevraagd om een meetkundige interpretatie te geven en als de TS nog maar bij bepaalde integralen is dan denk ik niet dat hij/zij deze integraal kan oplossen (of ik kan me ook vergissen), immers zou voor deze integraal een goniometrische substitutie handig zijn.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”