Springen naar inhoud

Integraal 1/(1-a cos x ) voor x van 0 tot 2 pi


  • Log in om te kunnen reageren

#1

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2010 - 22:22

Beste Mensen,

Bij het berekenen van het magnetisch veld in een spoel kwam ik de volgende integraal tegen.

Int_{x van 0 tot 2 Pi} 1/ ( 1 - a cos x )

Hierbij ligt a tussen -1 en 1. Deze integraal zou gelijk moeten zijn aan 2 Pi / sqrt(1 - a^2). Ik heb numeriek gechecked dat dat ook inderdaad zo is maar ik heb nog geen idee hoe ik dat zou moeten bewijzen. Kan iemand mij een tip geven? Het is vast een bekende integraal, maar ik kan heb hem nog nergens kunnen vinden.

Bedankt en groet. Oscar

PS: Het is niet helemaal waar dat ik helemaal geen idee heb. Je kunt de integrand uitschrijven als een machtreeks in a en dan de termen integreren. Maar, dat lijkt mij wel een erg omslachtige methode.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2010 - 01:39

Lijkt me ook omslachtig, maar het kan gewoon door een primitieve te zoeken. Korter en eleganter, maar vereist wat meer gevorderde kennis, via een complexe integraal met de residustelling.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

oscar2

    oscar2


  • >250 berichten
  • 271 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2010 - 02:25

Met een contourintegraal zou het misschien ook moeten gaan. In ieder geval kreeg ik op het scienceforum deze mooie primitieve.

The indefinite integral of 1/(b+acosx) is [2/√(b^2 - a^2)]arctan{[√(b^2 - a^2)][tan(x/2)]/(a+b)}

Het hangt dus niet eens af van het symmetrische interval. Het intrigeert mij nog wel steeds waarom er zo'n mooie primitieve uitkomt.....

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2010 - 11:46

Ik begrijp niet goed wat je met 'mooi' bedoelt, ik vind dit een vrij lelijke primitieve ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2011 - 15:58

In ieder geval kreeg ik op het scienceforum deze mooie primitieve.

The indefinite integral of 1/(b+acosx) is [2/√(b^2 - a^2)]arctan{[√(b^2 - a^2)][tan(x/2)]/(a+b)}

Het hangt dus niet eens af van het symmetrische interval. Het intrigeert mij nog wel steeds waarom er zo'n mooie primitieve uitkomt.....

Deze onbepaalde integraal is eenvoudig te vinden door de substitutie: z=tan(x/2). Mijn vraag is of en hoe het resultaat 2 Pi / sqrt(1 - a^2) te bepalen is?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures