Door het met differentiaalvergelijkingen te doen hoef ik niet telkens na te denken over de indices en subscripts ed. Het typt wat sneller. Je kunt een recurrente betrekking zien als een 'discrete differentiaalvergelijking', dus daarom gelden ~de volgende stappen ook voor jouw probleem.
We beschouwen de differentiaalvergelijking
ay''+by'+cy = f(t).
We willen de oplossing y=y(t) zoeken met a,b,c constanten. Stel we hebben
een oplossing voor bovenstaande vergelijking: y
p(t) (zoals ze dat noemen een particuliere oplossing), maar niet de algemene.
m.a.w. ay
p(t)''+by
p(t)'+cy
p(t) = f(t).
Dit aftrekken van de oorspronkelijke vergelijking geeft
a(y-y
p(t))''+b(y-y
p(t))'+c(y-y
p(t)) = 0.
Dan is y
hom(t):=y(t)-y
p(t) een oplossing van de homogene vergelijking.
Dus de algemene oplossing is: y(t)=y
hom(t)+y
p(t).
Als je de homogene oplossing hebt, moet je dus nog een particuliere oplossing vinden om je probleem op te lossen.
Hetzelfde verhaal geldt voor recurrente betrekkingen (je kan bovenstaande ook eens proberen voor dergelijke vergelijkingen). Er bestaan algemene methoden om particuliere oplossingen te vinden, maar die kunnen aardig complex zijn. Wat vaak sneller is, is de vorm van de particuliere oplossing te 'gokken', zoals jij deed:
\( a_i = c_i \cdot 2^i \)
(zie ook dat je een typo had, de n hoorde er niet)
Je hoeft dan alleen maar de constanten c
i te bepalen. Dit kan je doen door je gok terug in je recurrente betrekking in te vullen.
.