Springen naar inhoud

Vraag over een oneindig product


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2011 - 00:49

Ik zou graag wat meer willen weten over het volgende oneindige product:

LaTeX

Heb het internet afgestruind maar kan tot nu toe alleen maar een formule vinden voor s > 1 en integer:

LaTeX

Op deze site staat de meeste informatie over oneindige producten (al vond ik bovenstaande formule elders). Vergelijking 21 t/m 26 zijn voorbeelden van 'closed forms' voor geheeltallige n > 1.

http://mathworld.wol...iteProduct.html

De functie is wel te benaderen door:

LaTeX

Weet iemand of er een exacte (analytische) uitbreiding bestaat voor LaTeX of LaTeX ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2011 - 13:29

Ik weet niet precies wat het nut is van oneindige producten, maar elke oneindige reeks die convergeert kan natuurlijk interessante informatie opleveren. Zeker als je dit soort functies ook nog eens analytisch kan continueren zoals inderdaad door Riemann met de Zeta functie is gedaan. Als je dan ook nog eens nulpunten vindt die je direct kunt relateren aan de priemtelfunctie, dan gaat het wiskundige hart nog sneller kloppen.

Oneindigheden komen natuurlijk ook terug in de quantumfysica (o.a. in de renormalisatietechniek om oneindigheden tegen elkaar te laten wegvallen) en in dat verband las ik de verrassende (goed te volgen) afleiding dat:

LaTeX

Afleiding oneindige faculteit

Heb natuurlijk meteen geprobeerd om dit (counterintu´tieve) resultaat te gebruiken in de teller van het oneindige product:

LaTeX

Die teller zou dan (analytisch gecontinueerd) gelijk worden aan LaTeX . Helaas is de noemer dan weer een stuk lastiger weg te werken (maar hij zou voor LaTeX gelijk moeten zijn aan LaTeX ).

Terug naar de openingspost. De reden waarom ik ge´nteresseed ben in dit oneindige product is omdat het is samengesteld uit:

LaTeX (waarbij 1 niet meedoet bij de composieten)

LaTeX ook bekend als het Euler product en deze geldt voor LaTeX

Je zou je dus kunnen afvragen of er ook een "Zeta" bestaat voor het oneindige product van de niet-priem (composiet) getallen (en daarmee ook het totaalproduct) en of deze ook wellicht ook nulpunten heeft na analytische continuering in het complexe domein (mijn hypothese is overigens dat beide functies -dus niet-priem en totaal- geen nulpunten hebben).

Voor LaTeX krijg ik alleen voor de gehele getallen een mooi resultaat. Bijvoorbeeld voor LaTeX :

LaTeX , LaTeX dus: LaTeX

Daarom heb een Maple procedure geschreven om de niet geheeltallige waarden te benaderen (tot n = 1000) en dat levert de volgende grafiek op.

Geplaatste afbeelding

Ik zou heel graag het exacte snijpunt van beide lijnen willen bepalen, dus de macht s waarbij het oneindige product van alle priemgetallen gelijk is aan het oneindige product van alle niet-priemgetallen (m.u.v. van 1). Als de nauwkeurigheid toeneemt (dus een grotere n) en als ik voor het priemproduct de exacte Zeta-functie gebruik, dan lijkt de y-waarde te naderen naar LaTeX (maar blijft er volgens mij toch net boven (~3.15...).

Vandaar mijn vraag of er een continuatie voor LaTeX bestaat. Het liefste tussen 1 en 2 (dat overigens nu net weer het domein is waar de benadering met e-machten het meest onnauwkeurig is).

Veranderd door Agno, 02 januari 2011 - 13:34


#3

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2011 - 13:57

Je zou je dus kunnen afvragen of er ook een "Zeta" bestaat voor het oneindige product van de niet-priem (composiet) getallen (en daarmee ook het totaalproduct) en of deze ook wellicht ook nulpunten heeft na analytische continuering in het complexe domein (mijn hypothese is overigens dat beide functies -dus niet-priem en totaal- geen nulpunten hebben).

Nulpunten van de Riemann-zeta functie zijn toch automatisch ook nulpunten van je totale functie? ;) 0 is een opslorpend element...
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#4

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2011 - 16:01

Nulpunten van de Riemann-zeta functie zijn toch automatisch ook nulpunten van je totale functie? ;) 0 is een opslorpend element...


Dat was ook precies mijn startpunt. Je zou toch aan mogen nemen dat de nulpunten van de Zeta-functie ook moeten voorkomen in de functie LaTeX .

Mijn hoop was dus om meerdere non-triviale nulpunten te vinden in T(s) en dan te bewijzen dat al deze nulpunten op de kritische lijn LaTeX moeten liggen. Daarmee is de Riemann hypothese dan ook meteen bewezen.

En ik werd gesterkt in mijn hoop door het uitvoeren van de Maple "oneindig product" procedures (voor T(s), priem en niet-priem), die je ook kan laten rekenen met LaTeX . Dit gaf verrassend genoeg (het is immers geen zuivere analytisch continuering) toch ook de contouren van de Zeta functie (voor mijn priemproduct procedure) en bovendien ook nog eens een aantal hele regelmatig nulpunten voor T(s) die ook precies nog eens de Zeta-nulpunten overlapten (in lijn met jouw voorspelling). Mijn hart ging natuurlijk meteen sneller kloppen...

Helaas levert analytische continuering wel vaker resultaten op die volledig tegen je intu´tie in druisen. Denk maar aan:
LaTeX of LaTeX .

Na wat verdere studie vond ik de eerder genoemde methode om de oneindige producten te benaderen met e-machten. En aangezien die e-machten allemaal weer afhankelijk zijn van LaTeX , had ik meteen een goede analytische continuering te pakken. Dat ziet er dan als volgt uit:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

De (simpele) afleiding heb ik uit deze link gehaald (zie stelling 1.15):

Link naar benadering oneindig product

En dat levert de volgende grafiek voor LaTeX :

Geplaatste afbeelding

Heb deze natuurlijk ook voor grotere getallen (van b) geprobeerd, maar T(s) blijft altijd net boven de nul hangen (dit kan natuurlijk met de benaderingsformule te maken hebben, LaTeX wordt immers nooit 0, maar als ik de Zeta(s) functie op dezelfde manier met een e-macht benader (dat is LaTeX , dan zie je wel een hele scherpe punt. Het lijkt er dus op dat de composieten net iets sneller naar oneindig gaan als de priemgetallen naar 0.

Een merkwaardig resultaat, nietwaar? ;)

#5

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2011 - 19:25

Heb deze natuurlijk ook voor grotere getallen (van b) geprobeerd, maar T(s) blijft altijd net boven de nul hangen (dit kan natuurlijk met de benaderingsformule te maken hebben, LaTeX

wordt immers nooit 0, maar als ik de Zeta(s) functie op dezelfde manier met een e-macht benader (dat is LaTeX , dan zie je wel een hele scherpe punt. Het lijkt er dus op dat de composieten net iets sneller naar oneindig gaan als de priemgetallen naar 0.


Nog even door mijn aantekeningen gelopen en vergat te posten dat LaTeX natuurlijk LaTeX wordt zodra LaTeX gelijk wordt aan 0. Deze functie blijft dus altijd met deze factor boven het non-triviale nulpunt hangen.

#6

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2011 - 21:04

Ben weer wat verder gekomen in mijn zoektocht naar het oneindige product:

LaTeX

Via de volgende relatie:

LaTeX

Kom ik op de volgende exacte formule uit:

LaTeX

LaTeX

Deze formule convergeert zeker voor LaTeX omdat LaTeX nadert tot 1 en de n steeds groter wordt. Elke volgende term in de som bij een grotere n nadert dus tot nul.

Hiermee kan ik nu exact (afhankelijk van de nauwkeurigheid van Maple) uitrekenen voor welke s geldt dat:

LaTeX

Dat is namelijk wanneer:

LaTeX

En dan is s = 1.3977376... en de y-waarde = 3.11961189...

Natuurlijk meteen ingevoerd op de site van Plouffe's inverter, maar helaas geen relatie met bekende wiskundige constanten kunnen ontdekken (hoop dat mijn berekening accuraat is).

Ook heb ik (grafisch, geen bewijs) gekeken of deze formule convergeert in het domein tussen LaTeX . Dit lijkt inderdaad te werken en net zoals de Priem-zeta functie heeft T(s) daar ook 'polen' maar in dit geval voor alle 1/s (dus 0.5, 0.33, 0,25, 0,20,...).

Heb ook een 3D plot gemaakt voor LaTeX met a lopend van -1 tot 1 en b van 0 tot 30. Mijn PC heeft bijna 14 uur moeten rekenen en alhoewel de 3D plot een incompleet resultaat gaf voor a < ~0.3, is mijn sterke vermoeden dat:

1. T(s) divergeert voor alle s < 0.
2. T(s) heeft geen nulpunten op de lijn LaTeX
3. T(s) heeft op de lijn LaTeX dezelfde non-triviale nulpunten als LaTeX

Als iemand nog ideeŰn heeft hoe de exacte formule voor T(s) verder is te versimpelen, dan hoor ik het graag.

#7

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2011 - 22:42

Ben inmiddels van Maple naar Mathematica overgestapt (een heel stuk sneller) en kon de volgende grafiek produceren:

Geplaatste afbeelding

De lijnen tonen over het domein LaTeX achtereenvolgens:

Blauw LaTeX LaTeX

Paars LaTeX

Bruinig LaTeX

De functie LaTeX heeft voor elke LaTeX een pool en dat is eenvoudig te verklaren uit het feit dat er in de oneindige som LaTeX er altijd een term LaTeX zal voorkomen. Aangezien LaTeX een (enige) pool is van de Zetafunctie, zal dus de totale som en daarmee ook e-macht een pool worden.

Aangezien LaTeX en daarmee ook LaTeX een oneindig aantal polen zal bevatten wanneer LaTeX en omdat LaTeX voor LaTeX , bestaan er dus ook een oneindig aantal waarden van s waarvoor geldt dat:

LaTeX

Nu zijn die oneindige productformules alleen maar gedefinieerd voor LaTeX dus een correctere formulering is dat er een oneindig aantal oplossingen bestaat voor:

LaTeX

of te wel:

LaTeX

dus:

LaTeX

Misschien dat deze vergelijking nog verder te vereenvoudigen valt (tips?).

Aangezien elke oplossing voor s, een klein beetje informatie oplevert over de verdeling van priemgetallen en composieten, plus het feit dat er een oneindig aantal oplossingen voor s moet bestaan (daar waar de producten van priemgetallen en composieten elkaar snijden), dan zou je dus kunnen concluderen dat er dan ook een verband moet bestaan tussen de priemtelfunctie LaTeX en de oneindige som van alle snijpunten.

Heb ook nog verder gespeurd in het complexe vlak voor LaTeX , maar vind tot nu geen nulpunten voor LaTeX . Voor lagere waarden neemt de rekentijd helaas exponentieel toe (heb de computer al eens 48 uur continu laten rekenen zonder enige resultaat). Toch vermoed ik nog steeds (kijkend naar de trend) dat er non-triviale nulpunten op de lijn LaTeX liggen.

#8

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 januari 2011 - 20:39

Toch nog even een nieuwe post over dit onderwerp. Ik kom telkens een stukje verder in mijn begrip van de functie:

LaTeX

Maar eerst even kort waarom ik Řberhaupt in deze functie ge´nteresseerd ben. De basisgedachte was als volgt:

* Euler bewees de directe link tussen sommatie en vermenigvuldiging door het oneindige product van priemgetallen af te leiden uit de oneindige som van gehele, positieve getallen (ofwel LaTeX (Dit wordt de "Golden Key" genoemd)
* Riemann wist vervolgens LaTeX analytisch te continueren voor LaTeX m.u.v. LaTeX .
* Hij vond de triviale nulpunten (-2, -4, -6, ...) en de non-triviale (vermoedelijk allemaal op de lijn s= 0.5 + bi).
* En via Mellin/Fourier transformatie wist hij dat resultaat ook nog eens te koppelen aan de Priem-telfunctie.

De logaritmische versie van de Priem-telfunctie luidt:

LaTeX

Ik vroeg me daarna af of er wellicht ook een Composiet-telfunctie bestond, die op een soortgelijke wijze via bijv. een "Silver Key" het product van de composieten zou kunnen linken aan LaTeX . Maar omdat ik geen enkel voor de hand liggend verband kon vinden, zocht ik de route via LaTeX (die gedeeld door LaTeX het product van alle composieten oplevert). De Composiet-telfunctie is simpel af te leiden en is (grappig om te zien dat de nulpunten LaTeX eigenlijk het aantal composieten helpen tellen i.p.v. het aantal priemgetallen):

LaTeX

Anyway, alles wat ik tot nu toe op mijn speurtocht gevonden heb, is samengevat in onderstaand plaatje:

Geplaatste afbeelding


Iemand ideeŰn/suggesties of sta ik inmiddels op 'everybody's ignore list' ? ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures