Ik weet niet precies wat het nut is van oneindige producten, maar elke oneindige reeks die convergeert kan natuurlijk interessante informatie opleveren. Zeker als je dit soort functies ook nog eens analytisch kan continueren zoals inderdaad door Riemann met de Zeta functie is gedaan. Als je dan ook nog eens nulpunten vindt die je direct kunt relateren aan de priemtelfunctie, dan gaat het wiskundige hart nog sneller kloppen.
Oneindigheden komen natuurlijk ook terug in de quantumfysica (o.a. in de renormalisatietechniek om oneindigheden tegen elkaar te laten wegvallen) en in dat verband las ik de verrassende (goed te volgen) afleiding dat:
\(\infty ! = \sqrt{2\pi}\)
Afleiding oneindige faculteit
Heb natuurlijk meteen geprobeerd om dit (counterintuïtieve) resultaat te gebruiken in de teller van het oneindige product:
\(\prod _{n=2}^{\infty } \left( 1- \left( {n}^{-s} \right) \right) ^{-1}=\prod _{n=2}^{\infty } \left( \dfrac{{n}^{s}} {{n}^{s}-1}\right)\)
Die teller zou dan (analytisch gecontinueerd) gelijk worden aan
\(\left( \sqrt{2\pi} \right)^{s}\)
. Helaas is de noemer dan weer een stuk lastiger weg te werken (maar hij zou voor
\(s = 2\)
gelijk moeten zijn aan
\(\pi\)
).
Terug naar de openingspost. De reden waarom ik geïnteresseed ben in dit oneindige product is omdat het is samengesteld uit:
\(\prod _{n=2}^{\infty } \left( \dfrac{{n}^{s}} {{n}^{s}-1}\right) = \prod _{primes}^{\infty } \left( \dfrac{{p}^{s}} {{p}^{s}-1}\right) * \prod _{composites}^{\infty } \left( \dfrac{{c}^{s}} {{c}^{s}-1}\right)\)
(waarbij 1 niet meedoet bij de composieten)
\(\prod _{primes}^{\infty } \left( \dfrac{{p}^{s}} {{p}^{s}-1}\right) = \zeta(s)\)
ook bekend als het Euler product en deze geldt voor
\(R_e(s) > 1\)
Je zou je dus kunnen afvragen of er ook een "Zeta" bestaat voor het oneindige product van de niet-priem (composiet) getallen (en daarmee ook het totaalproduct) en of deze ook wellicht ook nulpunten heeft na analytische continuering in het complexe domein (mijn hypothese is overigens dat beide functies -dus niet-priem en totaal- geen nulpunten hebben).
Voor
\(R_e(s) > 1\)
krijg ik alleen voor de gehele getallen een mooi resultaat. Bijvoorbeeld voor
\(s=2\)
:
\(\prod _{n=2}^{\infty } \left( \dfrac{{n}^{2}} {{n}^{2}-1}\right) = 2\)
,
\(\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}\)
dus:
\(\prod _{composites}^{\infty } \left( \dfrac{{c}^{2}} {{c}^{2}-1}\right) =\dfrac{12}{\pi^2}\)
Daarom heb een Maple procedure geschreven om de niet geheeltallige waarden te benaderen (tot n = 1000) en dat levert de volgende grafiek op.
Ik zou heel graag het exacte snijpunt van beide lijnen willen bepalen, dus de macht s waarbij het oneindige product van alle priemgetallen gelijk is aan het oneindige product van alle niet-priemgetallen (m.u.v. van 1). Als de nauwkeurigheid toeneemt (dus een grotere n) en als ik voor het priemproduct de exacte Zeta-functie gebruik, dan lijkt de y-waarde te naderen naar
\(\pi\)
(maar blijft er volgens mij toch net boven (~3.15...).
Vandaar mijn vraag of er een continuatie voor
\(\prod _{n=2}^{\infty } \left( \dfrac{{n}^{s}} {{n}^{s}-1}\right)\)
bestaat. Het liefste tussen 1 en 2 (dat overigens nu net weer het domein is waar de benadering met e-machten het meest onnauwkeurig is).
0 is een opslorpend element...
