Hallo.
Ik ben me al een tijdje het hoofd aan het breken op volgende oefening (geen HUISWERK!), nl:
bepaal de algemene oplossing van de volgende vergelijking: y(k+2) - 5y(k+1) + 6y(k) = -4k(2)^k
-Ik begin met het opstellen van de karakteristieke vergeljking: s² - 5s + 6 = 0.
daaruit halen we dat s1=2 en s2=3.
-Aangezien de determinant groter is dan 0, is de algemene oplossing: y(k)= C1.3^k + C2.2^k
-Vanaf nu loopt het fout. De particuliere oplossing is, denk ik: y(k)=2^k(Ak+B)k.
-Nu zou dit waarschijnlijk op de een of andere manier in de opgave gesubtitueerd moeten worden om A en B te kunnen bepalen.
-Als de oplossing gevonden hiervan gevonden is, dan vinden we de algemene oplossing door de som te maken van de algemene en de particuliere oplossing.
Is er iemand die me kan tonen hoe dit type oefeningen dient opgelost te worden?
Alvast héél erg bedankt!
TheBrain
Laatste berichten
-
06:56
Casus uit de praktijk: positief test THC 3
-
22:01
vB 7
-
21:45
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
-
03 apr
tank 4
-
02 apr
gereduceerde massa 12
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 368
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Er staat een uitleg met heel wat uitgewerkte voorbeelden op de volgende link
http://fa.its.tudelft.nl/~koekoek/onderw00...lege/week25.pdf
http://fa.its.tudelft.nl/~koekoek/onderw00...lege/week25.pdf
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 139
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Die url had ik ook al gevonden, maar heef me helaas niet verder kunnen helpen.
Nieuwe poging:
y_p(k+1)=2^(k+1)(Ak²+Ak+A+Bk+B)^(k+1)
y_p(k+2)=2^(k+2)(Ak²+4Ak+4A+Bk+2B)^(k+2)
In de gegeven DV: 2^k(Ak²+Bk) - 5.2^(k+1)(Ak²+Ak+A+Bk+B)^(k+1) + 6.2^(k+2)(Ak²+4Ak+4A+Bk+2B)^(k+2) = -4k(2)^k
=> ik weet niet goed hoe ik dit laatste het beste zou aanpakken
Nieuwe poging:
y_p(k+1)=2^(k+1)(Ak²+Ak+A+Bk+B)^(k+1)
y_p(k+2)=2^(k+2)(Ak²+4Ak+4A+Bk+2B)^(k+2)
In de gegeven DV: 2^k(Ak²+Bk) - 5.2^(k+1)(Ak²+Ak+A+Bk+B)^(k+1) + 6.2^(k+2)(Ak²+4Ak+4A+Bk+2B)^(k+2) = -4k(2)^k
=> ik weet niet goed hoe ik dit laatste het beste zou aanpakken
-
- Berichten: 244
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Je doet iets raars. Jij zegt dat je voor je particuliere oplossing gokt:
y[k]=2^k(Ak+B)k
Dan is:
y[k+1]=2^(k+1)*(A(k+1)+B)*(k+1) en dus NIET:
y[k+1]=2^(k+1)(Ak²+Ak+A+Bk+B)^(k+1).
Waarom begin je eigenlijk direct met een moeilijke gok? Je kunt ook beginnen met:
y[k]=A*2^k*k
Deze vorm werkte voor mij in ieder geval al. Ik raad jou aan om hetzelfde te doen
.
y[k]=2^k(Ak+B)k
Dan is:
y[k+1]=2^(k+1)*(A(k+1)+B)*(k+1) en dus NIET:
y[k+1]=2^(k+1)(Ak²+Ak+A+Bk+B)^(k+1).
Waarom begin je eigenlijk direct met een moeilijke gok? Je kunt ook beginnen met:
y[k]=A*2^k*k
Deze vorm werkte voor mij in ieder geval al. Ik raad jou aan om hetzelfde te doen
.-
- Berichten: 368
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Volgens mijn berekeningen vind ik geen paticuliere oplossing met het voorstel van flamey
Ik heb geprobeerd met y[k] = (A k^2 +B k) 2^k
Je brengt dat in de differentievergelijking en je vindt na enig gereken
A=1 en B=3
dus (k^2 +3k) 2^k is een particuliere oplossing
Ik heb geprobeerd met y[k] = (A k^2 +B k) 2^k
Je brengt dat in de differentievergelijking en je vindt na enig gereken
A=1 en B=3
dus (k^2 +3k) 2^k is een particuliere oplossing
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 244
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Oeps, ik had een foutje gemaakt. Maar Fernand, jouw antwoord klopt ook niet. Als ik je particuliere opl. teruginvul in de differentievergelijking vind ik:
2^k*(-4*k+10).
Het is dus beter om de volgende ansatz te nemen:
2^k(A*k^2+B*k+C).
Deze geeft wel de goede uitkomst. Ter controle: A=1, B=3, C=8?
2^k*(-4*k+10).
Het is dus beter om de volgende ansatz te nemen:
2^k(A*k^2+B*k+C).
Deze geeft wel de goede uitkomst. Ter controle: A=1, B=3, C=8?
-
- Berichten: 139
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Oplossing al gevonden ondertussen:
y_p(k)=2^k(Ak^2+Bk)
y_p(k+1)=2^(k+1)(A(k+1)^2+B(k+1))=2*2^k(Ak^2+2Ak+A+Bk+B)
y_p(k+2)=2^(k+2)(A(k+2)^2+B(k+2))=4*2^k(Ak^2+4Ak+4A+Bk+2B)
Substitutie in de differentievergelijking, nl: y(k+2) - 5y(k+1) + 6y(k) = -4k(2)^k
=> 4*2^k(Ak²+4Ak+4A+Bk+2B) - 5*2*2^k(Ak²+2Ak+A+Bk+B) + 6*2^k(Ak²+bk) = -4k2^k
Ik stel 2^k voorop: <=> 2^k [4Ak²+16Ak+16A+4Bk+8B-(10Ak²+20Ak+10A+10Bk+10B)+6Ak²+6Bk] = -4k2^k
<=> 2^k(-4Ak+6A-2B) = -4k2^k
Vanaf nu volg ik de redenering uit pagina 4.5 van de oplossingen:
"We nemen termen samen in k2^k en 2^k": <=> k2^k(-4A+4) + 2^k(6A-2B) = 0
"Opdat deze gelijkheid zou gelden, moeten de coefficienten van k2^k en 2^k in beide leden gelijk zijn. Dit geeft het volgende stelsel:"
| -4A+4 = 0
| 6A-2B = 0
Hieruit haal ik dat A = 1 en B = 3.
Ik vul dit in in de gevonden particuliere oplossing, nl:
y_p(k)=2^k(Ak^2+Bk) => y_p(k) = 2^k(k²+3k)
Algemene oplossing y_k = y_g(k) + y_p(k)
=> y_k = C1.3^k + C2.2^k + 2^k(k²+3k)
Het gedeelte in het rood snap ik wel geen 100%. Maar de oplossing komt overeen met de gegeven oplossing dus het zou moeten kloppen.
y_p(k)=2^k(Ak^2+Bk)
y_p(k+1)=2^(k+1)(A(k+1)^2+B(k+1))=2*2^k(Ak^2+2Ak+A+Bk+B)
y_p(k+2)=2^(k+2)(A(k+2)^2+B(k+2))=4*2^k(Ak^2+4Ak+4A+Bk+2B)
Substitutie in de differentievergelijking, nl: y(k+2) - 5y(k+1) + 6y(k) = -4k(2)^k
=> 4*2^k(Ak²+4Ak+4A+Bk+2B) - 5*2*2^k(Ak²+2Ak+A+Bk+B) + 6*2^k(Ak²+bk) = -4k2^k
Ik stel 2^k voorop: <=> 2^k [4Ak²+16Ak+16A+4Bk+8B-(10Ak²+20Ak+10A+10Bk+10B)+6Ak²+6Bk] = -4k2^k
<=> 2^k(-4Ak+6A-2B) = -4k2^k
Vanaf nu volg ik de redenering uit pagina 4.5 van de oplossingen:
"We nemen termen samen in k2^k en 2^k": <=> k2^k(-4A+4) + 2^k(6A-2B) = 0
"Opdat deze gelijkheid zou gelden, moeten de coefficienten van k2^k en 2^k in beide leden gelijk zijn. Dit geeft het volgende stelsel:"
| -4A+4 = 0
| 6A-2B = 0
Hieruit haal ik dat A = 1 en B = 3.
Ik vul dit in in de gevonden particuliere oplossing, nl:
y_p(k)=2^k(Ak^2+Bk) => y_p(k) = 2^k(k²+3k)
Algemene oplossing y_k = y_g(k) + y_p(k)
=> y_k = C1.3^k + C2.2^k + 2^k(k²+3k)
Het gedeelte in het rood snap ik wel geen 100%. Maar de oplossing komt overeen met de gegeven oplossing dus het zou moeten kloppen.
-
- Berichten: 244
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Ok, ik heb het weer even nagerekend en wat ik zei in mijn vorige post klopte dus niet. Je hebt de term C*2^k niet nodig en als je het antwoord van Fernand terug invult, krijg je het goede. (Als je deze term toevoegt kan C van alles zijn, maar voor een particuliere oplossing ben je al blij met 1 oplossing).
Dus TheBrain, jouw antwoord is gewoon goed.
Over de stap die je niet goed snapte:
De termen k*2^k en 2^k zijn lineair onafhankelijk. Dwz dat wanneer: A*k*2^k+B*2^k=0 => A=0 en B=0. Anders gezegd, de enige oplossing voor deze gelijkheid is de triviale oplossing: A*k*2^k=-B*2^k. Dit kan je denk ik wel enigzins aanvoelen omdat het beide heel verschillende functies zijn, die je nooit voor elke waarde van k gelijk kan praten.
Het stelsel oplossen is vervolgens makkelijk, omdat A er uit te halen is. Daarna kun je de gevonden waarde van A invullen in de tweede vergelijking om B te vinden.
Dus TheBrain, jouw antwoord is gewoon goed
.Over de stap die je niet goed snapte:
De termen k*2^k en 2^k zijn lineair onafhankelijk. Dwz dat wanneer: A*k*2^k+B*2^k=0 => A=0 en B=0. Anders gezegd, de enige oplossing voor deze gelijkheid is de triviale oplossing: A*k*2^k=-B*2^k. Dit kan je denk ik wel enigzins aanvoelen omdat het beide heel verschillende functies zijn, die je nooit voor elke waarde van k gelijk kan praten.
Het stelsel oplossen is vervolgens makkelijk, omdat A er uit te halen is. Daarna kun je de gevonden waarde van A invullen in de tweede vergelijking om B te vinden.
-
- Berichten: 368
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Poging tot uitleg van het rode deel
k2^k(-4A+4) + 2^k(6A-2B) = 0
is gelijkwaardig met
k(-4A+4) + (6A-2B) = 0
en daar dit moet gelden voor alle k
moet (-4A+4) en (6A-2B) beide 0 zijn
k2^k(-4A+4) + 2^k(6A-2B) = 0
is gelijkwaardig met
k(-4A+4) + (6A-2B) = 0
en daar dit moet gelden voor alle k
moet (-4A+4) en (6A-2B) beide 0 zijn
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 139
Re: [analyse] niet-homogene differentievergelijking: oefening
Bedankt, jullie hulp wordt zeer geapprecieerd 
.
Het voelt goed om een oefening door te hebben
.
.Het voelt goed om een oefening door te hebben
.