Differentiaalvergelijking

SkeXis

Hallo,

ik heb sinds kort een introductie in differentiaalvergelijkingen gekregen. Het is op zich wel te doen mits het feit dat ik nu thuis zit met opgaven die ik net niet snap, en waarvan ik geen uitwerkingen heb.

Ik heb de volgende vraag:

gegeven diffrentiaalvergelijking:

dy/dx + 2xy - x = 0

Vraag: Kan een algemene oplossing bepaald worden dmv het scheiden van variabele?

De bedoeling van de vraag is me duidelijk, ik blijk er alleen niet uit te komen. Ik moet zorgen dat de x en y gescheiden raken zodat ik ze kan integreren, maar dat stapje red ik bij deze DV niet op.

Ik heb geprobeerd om de x te scheiden, maar dan lijk ik me alleen maar verder in de nesten te werken en kom ik uit op zoiets:

(dy/dx)/x = 1-2y

Ik zou het prettig vinden een handje te worden geholpen, het zal wel simpel zijn, maar ik zie het even niet.

flamey

Je dv kun je prima scheiden. In je tweede en derde term kun je namelijk x buiten haakjes halen. Dus wat je hebt ziet er goed uit. Schrijf nu alles in de vorm: f(y)dy=g(x)dx, en integreer

.

Xenion

Je hebt dit al gevonden:

dy/dx = x-2xy

dy/dx = x*(1-2y)

Jij hebt nu die x naar links gebracht, maar zo maak je het inderdaad alleen moeilijker.

Zet nu gewoon alles met een y links en alles met een x rechts en dan kan heb je de variabelen gescheiden.

mathfreak

Schrijf je oorspronkelijke d.v eens als

\(\frac{dy}{dx}+x(2y-1)=0\)

. Wat wordt nu de volgende stap om deze d.v. op te lossen?

SkeXis

Ah tuurlijk!

Ik heb de dv geïntegreerd en kom op het volgende uit:

-1/2log(1-2y) = 1/2x^2

Dit werk ik verder uit:

log(1-2y) = -x^2

1-2y = 10^-x^2

y = -1/2*(10^-x^2)-1/2 + C

Ik heb echter even opgezocht dat ik op:

y= 1/2+C*e^-x^2

moet uitkomen.

Ik zie wat overeenkomsten, maar dan houdt het ook op.

Ps. Ik wilde die LaTeX codes gebruiken, aangezien die een stuk overzichtelijker zijn, maar dat pdf bestand laadt niet.

flamey

Ziet er goed uit. Alleen als het grondtal van de log die jij uitkrijgt niet 10 maar e. Tevens moet je hier een constante toevoegen:

log(1-2y) = -x^2

Het handigste is om dit te doen aan de rechterzijde van het =-teken. (Immers als je links van het = teken een constante hebt, kun je die altijd naar rechts halen. Dan exponentieren links en rechts van het =-teken en je constante herdefiniëren.

SkeXis

Ik snap 'm. Die constante moet er inderdaad een paar stappen eerder al bij, een getal maal een constante levert net zo goed weer een constante op. Die constante moet ik ook boven de macht halen(of hoe je het ook noemt) zodat ik die bij elkaar op kan tellen en vervolgens er weer voor kan zetten.

Ik snap alleen niet waarom de integraal van (1-2y), dit: -1/2log(1-2y) en blijkbaar ook -1/2ln(1-2y) als antwoord kan hebben. Maakt het grondtal in dit geval niet uit?

flamey

d/dx(log(x))=1/(x*ln a), met a het grondtal van de logaritme... Dus grondtal e is de enige mogelijke uitkomst van je betreffende integraal!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Differentiaalvergelijking

Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking

Re: Differentiaalvergelijking