Afleidbaarheid en continuïteit

QuarkSV

Hallo

Ik ben bezig met een aantal opgaven aan het maken over het nagaan van continuïteit en afleidbaarheid en zit met een twijfelgeval. Het gaat om de opgave (zie bijgevoegde afb.). Ik moet er de cont. en afl. nagaan in 0.

Mijn werkwijze heb ik in de bijlage gestopt. Bij continuïteitsbespreking ben ik vrij zeker van mijn antwoord, zou iemand het toch nog even kunnen bevestigen? Ik denk dus: "ja continu in 0".

Bij de afleidbaarheids"check" zit ik echter met wat twijfel. Ik val terug op de definitie van afleidbaarheid en bereken dus de linker -en rechterlimiet naar 0 (zie bijlage). Ik moet dus op een gegeven moment f(0) invullen. De beide afgeleiden bestaan niet dus de afgeleide in 0 bestaat niet.

Kan iemand mij bevestigen welke de juiste manier is?

Alvast bedankt

Mvg

ZVdP

De limieten voor de afgeleide bestaan wel degelijk.

Ofwel herken je er een standaard limiet in, ofwel reken je hem uit via L'Hopital zoals je lijkt te doen in potlood, maar je maakt in die uitwerking nog wel een foutje.

QuarkSV

ZVdP schreef:De limieten voor de afgeleide bestaan wel degelijk.

Ofwel herken je er een standaard limiet in, ofwel reken je hem uit via L'Hopital zoals je lijkt te doen in potlood, maar je maakt in die uitwerking nog wel een foutje.

Is dit dan beter? Zie onderaan de pagina. Kun je de afgeleide van de functie bevestigen, is die correct?

ZVdP

Voor f(0) moet je gewoon 0 invullen, want dat is de functiewaarde zoals ze gedefinieerd is in de opgave.

Welke limiet krijg je dan?

En bij je berekening van de afgeleide verschijnt er opeens ergens een factor x vanuit het niets.

QuarkSV

ZVdP schreef:Bij de limiet vergeet je ergens een x:

\(\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin x^2}{x}}{x}=\frac{\sin x^2}{x^2}\)

En bij je berekening van de afgeleide verschijnt er opeens ergens een factor x vanuit het niets.

Inderdaad. Lijkt dit beter?

ZVdP

Ik had nog iets over het hoofd gezien in je notatie van de limiet.

Daarom had ik mijn vorige post aangepast, maar blijkbaar te laat.

Zie de opmerking over f(0).

QuarkSV

Dan verkrijg je de limiet die ik onderaan vorige bijlage in het zwart noteerde. Die allebei 1 uitkomen?

De limiet naar 0 van sin(x²)/x².

ZVdP

Dat is correct

QuarkSV

Dus de functie is afleidbaar in 0 omdat de linker- en rechterafgeleide gelijk zijn, namelijk aan 1. De functie is ook continu in 0 dus (eerder al aangetoond + ze is afleidbaar in nul dus ook continu) en de afgeleide van de functie is 2.cos(x²)-(sin(x²)/x²)?

ZVdP

Klopt.

Als extraatje:

Voor de limiet bestaat er naast L'Hopital, nog een andere methode, via een standaardlimiet (als je die gezien hebt)

\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u}=1\)

Met de substitutie u=x² (en om 'u' ook in de variabele onder de limiet te krijgen, moet je opmerken dat als x naar 0 gaat, ook x² naar nul gaat)

In dit geval is het ongeveer evenveel schrijf en rekenwerk, maar in sommige gevallen kan die substutie iets makkelijker zijn dan via L'Hopital.

QuarkSV

ZVdP schreef:Klopt.

Als extraatje:

Voor de limiet bestaat er naast L'Hopital, nog een andere methode, via een standaardlimiet (als je die gezien hebt)

\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x^2}{x^2}=\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u}=1\)
Met de substitutie u=x² (en om 'u' ook in de variabele onder de limiet te krijgen, moet je opmerken dat als x naar 0 gaat, ook x² naar nul gaat)

In dit geval is het ongeveer evenveel schrijf en rekenwerk, maar in sommige gevallen kan die substutie iets makkelijker zijn dan via L'Hopital.

Bedankt voor de snelle hulp

. Standaardlimieten hebben we gezien ja

.

Heb daarnet ook zo nog eens berekend en kwam op hetzelfde uit

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Afleidbaarheid en continuïteit

Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu

Re: Afleidbaarheid en continu