Springen naar inhoud

Fout in boek van coxeter?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Alkartus

    Alkartus


  • >100 berichten
  • 199 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 januari 2011 - 22:52

In par. 3 van hoofdstuk 2 van 'Regular polytopes' uit 1973 worden de equatoriale polygonen van de polyhedra besproken. Quote: (N is aantal ribben dat een polyhedron heeft.)
---
On examining a model of the octahedron, cuboctahedron, or icosidodecahedron, we observe a number of equatorial squares, hexagons, or decagons: polygons which, lying in planes through the centre, are inscribed in great circles of the circum-sphere. To study this phenomenon in general terms, we observe that the vertex figure of a quasi-regular polyhedron is a rectangle, and that either pair of opposite vertices of this rectangle are the mid-points of two adjacent sides of the equatorial polygon. If this polygon is a {h}, its vertex figure is a diagonal of a rectangle.
We can verify that h=4 for the octahedron, h=6 for the cuboctahedron and h=10 for the icosidodecahedron. Since every edge of the quasi-regular polyhedron belongs to just one equatorial {h} ; so there are 2N/h such {h}'s altogether (namely 3 squares, 4 hexagons, and 6 decagons, in the respective cases).
---
Het probleem is dat als je het uitrekent je volgens 2N/h telkens het dubbele krijgt:
-Octahedron heeft 12 ribben en h=4 dus (2x12)/4=6
-Cuboctahedron heeft 24 ribben en h=6 dus (2x24)/6=8
-Icosidodecahedron heeft 60 ribben en h=10 dus (2x60)/10=12
Ik snap wel dat er 2N/h equatoriale vlakken in zo'n polyhedron zijn, maar het aantal {h}'s zijn toch duidelijk N/h gezien elke rib onderdeel is van ťťn {h}. Ligt dit nou aan mij of staat er toch echt een foutje in dit geweldige wiskunde boek? Coxeter is immers een groot man in de meetkunde dus die zullen jullie wiskundigen wel kennen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2011 - 02:34

Je denkfout zit hem in het feit dat N niet het aantal ribben is. N is namelijk het aantal knooppunten (vertices).

#3

Alkartus

    Alkartus


  • >100 berichten
  • 199 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2011 - 00:16

Nee, hij heeft het hier toch echt over de ribben. Hij geeft dat aan met een nummertje, maar dat had ik voor jullie weggelaten omdat je dat hier niet kunt invoeren.

#4

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2011 - 00:26

Ik had het boek van Coxeter bij mijn vorige post er bij gepakt. Aan het begin van paragraaf 2.3 zegt hij dat N1 betrekking heeft op het aantal vertices. Deze N1 gebruikt hij in eenzelfde formule als dat jij hebt gegeven (2N1/h).

Veranderd door flamey, 10 januari 2011 - 00:27






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures