Springen naar inhoud

Paraboolplot op constante snelheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Kaspace

    Kaspace


  • >100 berichten
  • 202 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2011 - 13:51

Ik wil deze parabool plotten met een machine waarbij ik de eis stel dat de plotsnelheid van de parabool constant is. Anders: een bewerkingsmachine moet een paraboolvorm snijden met een constante voedingssnelheid
Nog anders: een machine spuit een gelijkmatige straal lijm(verf) in een paraboolvorm, en ik wil dat de laag lijm(verf) overal even dik wordt.

y=ax^2
y'=2ax
y"=2a


Ik zoek nu een functie voor de x-verplaatsing x=f(t), zodanig dat per stap de resulterende y-verplaatsing geen versnelling in de richting van de parabool plaatsvindt. De snelheid langs de parabool zou zo constant moeten worden.

De versnelling vindt (dus) uitsluitend loodrecht op de paraboolrichting plaats, dus:
{d2(x)/dt2} / {d2(y)/d2t} =-1/y'

[Met de 2 is hier steeds "kwadraat" bedoeld, ik kan niet met Latex overweg...]

Ik zeg: dy/dt= dy/dx . dx/dt en vindt:

{d2(x)/dt2} = 2a{dx/dt}^2 + dy/dx . d2x/dt2

Nog iets verder krijg ik:
4ax . d2x/dt2 + 2a . (dx/dt)^2 = 0

Dan nu de hamvraag: wat is de x=f(t)????

Veranderd door Kaspace, 10 januari 2011 - 14:02


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2011 - 17:03

Ik heb geprobeerd de functie x=f(t)te berekenen, waar dit werd snel zeer ingewikkeld omdat f(t) als
impliciete functie verschijnt.

Daarom een alternatief voorstel.
We weten dat langs de kromme LaTeX en LaTeX .
Dus is
LaTeX .

LaTeX

Ik veronderstel dat je, in dit probleem, met voldoende kleine stapjes kan werken.
We wensen die stappen zo te kiezen dat ds constant blijft.
We leggen eerst ds vast welke we in een bepaald tijdsinterval willen overbruggen.
Voor elke stap wordt nu de gepaste dx berekend met behulp van

LaTeX

Hierin is x de momentele x-waarde die bij elke stap wordt aangepast.

De stappen moeten voldoende klein zijn dat x niet teveel verandert.
Deze methode is niet exact maar kan voldoende nauwkeurig zijn om het probleem op te lossen.

Gedurende het gekozen tijdsinterval wordt dan telkens de afstand dx lineair overbrugd.

Veranderd door Fernand, 10 januari 2011 - 17:11

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#3

Kaspace

    Kaspace


  • >100 berichten
  • 202 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2011 - 21:36

Fernand, bedankt voor je bijdrage. Misschien moet het zoals je voorstelt. Maar het vergt veel rekenwerk per stap zo, en er zal een toenemende fout ontstaan. Ik zou graag iets hebben wat exact in de tijd klopt, zodat het (later) te combineren is met een andere tijdfunctie (in bv 3e dimensie).

Ik had gehoopt dat iemand zo eventjes de DV zou ophoesten... Misschien lijkt de oplossing op die voor een 2e orde DV die in de regeltechniek veel voorkomt (harmonisch gedempte trilling). Zo moeilijk kan een parabool toch niet zijn???
Ik heb verouderende hersenen, heb steeds meer moeite met dat soort werk.

Misschien kan iemand met verstand van Matlab eens voor me snuffelen mbv symbolic math?

Ik doe er nog een link link bij waar ik/jij misschien verder mee kan komen. Hier berekenen ze des parabools echte booglengte.

Ik zou blij zijn met nog meer reacties!

Veranderd door Kaspace, 10 januari 2011 - 21:46


#4

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2011 - 16:20

Indien de snelheid langs de curve LaTeX is dan kan een expliciete vorm bepaald worden via poolcoordinaten.
Ga eerst uit van verschoven parabool: LaTeX , met LaTeX de brandpuntsafstand, y coordinaat van brandpunt ligt dan nu in de oorsprong (0,0) , ipv (0,f)
Poolcoordinaten: LaTeX en LaTeX en LaTeX . Nb. voor LaTeX is R verticaal naar beneden gericht.

Met: LaTeX en LaTeX . Na integratie: LaTeX . C bepaalt waar de parabool start (t=0)

Bovenstaand uitdrukking geeft de hoekverdraaing weer als functie van tijd en de snelheid waarmee de parabool moet worden doorlopen. Met LaTeX terug naar cart coordinaten. y moet dan nog terug geschoven worden met +f.

Indien overeenstemming bestaat over de definitie van de snelheid geeft deze methode de expliciete oplossing: x=f(t)

#5

Fernand

    Fernand


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 07:34

@robertus58a

Als ik me niet vergis is, in poolcoordinaten ds niet gelijk aan LaTeX maar geldt

LaTeX

na omwerking

LaTeX
LaTeX

Veranderd door Fernand, 12 januari 2011 - 07:40

Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 januari 2011 - 10:27

Nog iets verder krijg ik:
4ax . d2x/dt2 + 2a . (dx/dt)^2 = 0

Dan nu de hamvraag: wat is de x=f(t)????

Volges wolfram: http://www.wolframal...[...27[t]^2 ==0

x(t) = c_2 (3 t-2 c_1)^(2/3)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#7

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 11:56

@robertus58a

Als ik me niet vergis is, in poolcoordinaten ds niet gelijk aan LaTeX

maar geldt

LaTeX

na omwerking

LaTeX
LaTeX


Fernand: je vergist je niet, je hebt 100% gelijk. Dit was te kort door de bocht. Overgang naar poolcoordinaten maakt eea niet eenvoudiger. En (zoals je al eerder hebt vermeld) zal je geen expliciete functie vinden.

#8

Kaspace

    Kaspace


  • >100 berichten
  • 202 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 12:19

@robertus58a
Ik was aanvankelijk laaiend enthousiast over je oplossing... maar had ook twijfel over ds=Rd(phi). Zie reactie Fernand.
[Edit: Je had ondertussen zelf al geregeerd]
Wel hartstikke leuk en bedankt dat je je er in verdiept hebt!
@Fernand
Ik denk dus dat je gelijk hebt.
@317070
Bedankt voor link Wolfram Alpha.
kMoet nu zien of het past op mijn aanzet: de c2 en c1 heb ik nog niet gevonden...
Als ik parabola invoer vind wel leuke suggesties (zie bv: arc length function).

Veranderd door Kaspace, 12 januari 2011 - 12:27


#9

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 januari 2011 - 14:32

kMoet nu zien of het past op mijn aanzet: de c2 en c1 heb ik nog niet gevonden...

Die hangt af van je specifieke parabool en waar je er op begint. Om die te vinden moet je je beginvoorwaarden x(0) en x'(0) inpluggen in de vergelijking. Vervolgens kun je zo oplossingen voor c_1 en c_2 vinden.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#10

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 16:50

Ik ben wat onzeker over welke snelheid nu constant moet zijn. Er geldt: LaTeX en LaTeX . Is de vereiste nu dat de snelheid langs de parabool kromme constant is: LaTeX of betreft het de snelheid in de y-richting: LaTeX ?. Indien het de snelheid in y-richting is dan ligt de snelheid in x-richting vast (via LaTeX ) . In dat geval is de snelheid langs de parabool niet constant.

#11

Kaspace

    Kaspace


  • >100 berichten
  • 202 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 17:00

@robertus58a
De snelheid LaTeX langs de parabool moet constant zijn; LaTeX is dus een stukje van de parabool.

Veranderd door Kaspace, 12 januari 2011 - 17:05


#12

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 17:09

Alvast vooruitlopend op enige reactie:

indien de snelheid in y-richting constant is , Vy, dan is de snelheid in x-richting te bepalen met: LaTeX .
Dit is eenvoudig op te lossen (en geeft exact dezelfde oplossing als de berekening via de versnelling in y-richting op 0 te stellen): LaTeX

#13

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2011 - 17:29

Dan heb je m.i. alleen een impliciete oplossing in x (maar expliciet in t):

LaTeX

De enige manier die ik zou weten is uitgaande van de expliciete functie t=f(x) een polynoom (of iets anders) fitten zodanig dat je x=g(t) krijgt. Dit is natuurlijk geen elegante oplossing (die bovendien voor elke parabool opnieuw gedaan moet worden)

#14

Kaspace

    Kaspace


  • >100 berichten
  • 202 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 10:49

@Robertus58a

Ja, ik denk dat dat hem is. Ik heb in het laatste stuk van mijn beginposting wat foutjes staan. Ik merk dat je die er uit hebt gehaald.

Formule ingevoerd bij Wolfram alpha
Voor de meelezers (ik wil voor de inverse-sinus-hyperbolicus de omzetting naar logaritmische vorm):
De inverse sinus hyperbolicus
Wolfram Alpha inverse sinus hyperbolicus





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures