Ik wil deze parabool plotten met een machine waarbij ik de eis stel dat de plotsnelheid van de parabool constant is. Anders: een bewerkingsmachine moet een paraboolvorm snijden met een constante voedingssnelheid
Nog anders: een machine spuit een gelijkmatige straal lijm(verf) in een paraboolvorm, en ik wil dat de laag lijm(verf) overal even dik wordt.
y=ax^2
y'=2ax
y"=2a
Ik zoek nu een functie voor de x-verplaatsing x=f(t), zodanig dat per stap de resulterende y-verplaatsing geen versnelling in de richting van de parabool plaatsvindt. De snelheid langs de parabool zou zo constant moeten worden.
De versnelling vindt (dus) uitsluitend loodrecht op de paraboolrichting plaats, dus:
{d2(x)/dt2} / {d2(y)/d2t} =-1/y'
[Met de 2 is hier steeds "kwadraat" bedoeld, ik kan niet met Latex overweg...]
Ik zeg: dy/dt= dy/dx . dx/dt en vindt:
{d2(x)/dt2} = 2a{dx/dt}^2 + dy/dx . d2x/dt2
Nog iets verder krijg ik:
4ax . d2x/dt2 + 2a . (dx/dt)^2 = 0
Dan nu de hamvraag: wat is de x=f(t)????
Laatste berichten
-
07:53
Rotatie van het heelal 25
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Paraboolplot op constante snelheid
-
- Berichten: 368
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Ik heb geprobeerd de functie x=f(t)te berekenen, waar dit werd snel zeer ingewikkeld omdat f(t) als
impliciete functie verschijnt.
Daarom een alternatief voorstel.
We weten dat langs de kromme
Dus is
Ik veronderstel dat je, in dit probleem, met voldoende kleine stapjes kan werken.
We wensen die stappen zo te kiezen dat ds constant blijft.
We leggen eerst ds vast welke we in een bepaald tijdsinterval willen overbruggen.
Voor elke stap wordt nu de gepaste dx berekend met behulp van
Hierin is x de momentele x-waarde die bij elke stap wordt aangepast.
De stappen moeten voldoende klein zijn dat x niet teveel verandert.
Deze methode is niet exact maar kan voldoende nauwkeurig zijn om het probleem op te lossen.
Gedurende het gekozen tijdsinterval wordt dan telkens de afstand dx lineair overbrugd.
impliciete functie verschijnt.
Daarom een alternatief voorstel.
We weten dat langs de kromme
\( (dx)^2 + (dy)^2 = (ds)^2 \)
en \( y = ax^2 \)
.Dus is
\( (1 + 4 a^2 x^2) (dx)^2 = (ds)^2 \)
.\( dx = \frac{ds}{\sqrt{1 + 4 a^2 x^2}} \)
Ik veronderstel dat je, in dit probleem, met voldoende kleine stapjes kan werken.
We wensen die stappen zo te kiezen dat ds constant blijft.
We leggen eerst ds vast welke we in een bepaald tijdsinterval willen overbruggen.
Voor elke stap wordt nu de gepaste dx berekend met behulp van
\( dx = \frac{ds}{\sqrt{1 + 4 a^2 x^2}} \)
Hierin is x de momentele x-waarde die bij elke stap wordt aangepast.
De stappen moeten voldoende klein zijn dat x niet teveel verandert.
Deze methode is niet exact maar kan voldoende nauwkeurig zijn om het probleem op te lossen.
Gedurende het gekozen tijdsinterval wordt dan telkens de afstand dx lineair overbrugd.
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 202
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Fernand, bedankt voor je bijdrage. Misschien moet het zoals je voorstelt. Maar het vergt veel rekenwerk per stap zo, en er zal een toenemende fout ontstaan. Ik zou graag iets hebben wat exact in de tijd klopt, zodat het (later) te combineren is met een andere tijdfunctie (in bv 3e dimensie).
Ik had gehoopt dat iemand zo eventjes de DV zou ophoesten... Misschien lijkt de oplossing op die voor een 2e orde DV die in de regeltechniek veel voorkomt (harmonisch gedempte trilling). Zo moeilijk kan een parabool toch niet zijn???
Ik heb verouderende hersenen, heb steeds meer moeite met dat soort werk.
Misschien kan iemand met verstand van Matlab eens voor me snuffelen mbv symbolic math?
Ik doe er nog een link link bij waar ik/jij misschien verder mee kan komen. Hier berekenen ze des parabools echte booglengte.
Ik zou blij zijn met nog meer reacties!
Ik had gehoopt dat iemand zo eventjes de DV zou ophoesten... Misschien lijkt de oplossing op die voor een 2e orde DV die in de regeltechniek veel voorkomt (harmonisch gedempte trilling). Zo moeilijk kan een parabool toch niet zijn???
Ik heb verouderende hersenen, heb steeds meer moeite met dat soort werk.
Misschien kan iemand met verstand van Matlab eens voor me snuffelen mbv symbolic math?
Ik doe er nog een link link bij waar ik/jij misschien verder mee kan komen. Hier berekenen ze des parabools echte booglengte.
Ik zou blij zijn met nog meer reacties!
-
- Berichten: 216
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Indien de snelheid langs de curve
Ga eerst uit van verschoven parabool:
Poolcoordinaten:
Met:
Bovenstaand uitdrukking geeft de hoekverdraaing weer als functie van tijd en de snelheid waarmee de parabool moet worden doorlopen. Met
Indien overeenstemming bestaat over de definitie van de snelheid geeft deze methode de expliciete oplossing: x=f(t)
\(\frac{ds}{dt}= constant = V\)
is dan kan een expliciete vorm bepaald worden via poolcoordinaten.Ga eerst uit van verschoven parabool:
\(y=ax^2-f\)
, met \(f=\frac{1}{4a}\)
de brandpuntsafstand, y coordinaat van brandpunt ligt dan nu in de oorsprong (0,0) , ipv (0,f)Poolcoordinaten:
\(R=\frac{2f}{1+cos {\theta}}\)
en \(x=R sin{\theta}=\frac{2f sin{\theta}}{1+cos{\theta}}\)
en \(y=-R cos{\theta}=\frac{-2f cos{\theta}}{1+cos{\theta}}\)
. Nb. voor \(\theta=0\)
is R verticaal naar beneden gericht.Met:
\(ds = R d\theta\)
en \(\frac{ds}{d t} = \frac{ds}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = V \)
. Na integratie: \(tan{\frac{\theta}{2}} = \frac{V}{2f}.t + C\)
. C bepaalt waar de parabool start (t=0)Bovenstaand uitdrukking geeft de hoekverdraaing weer als functie van tijd en de snelheid waarmee de parabool moet worden doorlopen. Met
\(x=R sin \theta, y=-R cos \theta\)
terug naar cart coordinaten. y moet dan nog terug geschoven worden met +f.Indien overeenstemming bestaat over de definitie van de snelheid geeft deze methode de expliciete oplossing: x=f(t)
-
- Berichten: 368
Re: Paraboolplot op constante snelheid
@robertus58a
Als ik me niet vergis is, in poolcoordinaten ds niet gelijk aan
na omwerking
Als ik me niet vergis is, in poolcoordinaten ds niet gelijk aan
\( Rd\theta \)
maar geldt\( (ds)^2 = (dR)^2 + R^2 (d\theta)^2 \)
na omwerking
\( (ds)^2 = (R^2 + (dR/d\theta)^2 ) (d\theta)^2 \)
\( ds = \pm\sqrt{(R^2 + (dR/d\theta)^2 )} d\theta \)
Het eindig getal π verenigt het eindige met het transcendente.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
De eindige cirkel bereikt het oneindige in zijn isotrope punten.
-
- Berichten: 5.609
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Volges wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=4a*x[...27[t]^2+%3D%3D0Kaspace schreef:Nog iets verder krijg ik:
4ax . d2x/dt2 + 2a . (dx/dt)^2 = 0
Dan nu de hamvraag: wat is de x=f(t)????
x(t) = c_2 (3 t-2 c_1)^(2/3)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-
-
- Berichten: 216
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Fernand: je vergist je niet, je hebt 100% gelijk. Dit was te kort door de bocht. Overgang naar poolcoordinaten maakt eea niet eenvoudiger. En (zoals je al eerder hebt vermeld) zal je geen expliciete functie vinden.Fernand schreef:@robertus58a
Als ik me niet vergis is, in poolcoordinaten ds niet gelijk aan\( Rd\theta \)maar geldt
\( (ds)^2 = (dR)^2 + R^2 (d\theta)^2 \)
na omwerking
\( (ds)^2 = (R^2 + (dR/d\theta)^2 ) (d\theta)^2 \)
\( ds = \pm\sqrt{(R^2 + (dR/d\theta)^2 )} d\theta \)
-
- Berichten: 202
Re: Paraboolplot op constante snelheid
@robertus58a
Ik was aanvankelijk laaiend enthousiast over je oplossing... maar had ook twijfel over ds=Rd(phi). Zie reactie Fernand.
[Edit: Je had ondertussen zelf al geregeerd]
Wel hartstikke leuk en bedankt dat je je er in verdiept hebt!
@Fernand
Ik denk dus dat je gelijk hebt.
@317070
Bedankt voor link Wolfram Alpha.
kMoet nu zien of het past op mijn aanzet: de c2 en c1 heb ik nog niet gevonden...
Als ik parabola invoer vind wel leuke suggesties (zie bv: arc length function).
Ik was aanvankelijk laaiend enthousiast over je oplossing... maar had ook twijfel over ds=Rd(phi). Zie reactie Fernand.
[Edit: Je had ondertussen zelf al geregeerd]
Wel hartstikke leuk en bedankt dat je je er in verdiept hebt!
@Fernand
Ik denk dus dat je gelijk hebt.
@317070
Bedankt voor link Wolfram Alpha.
kMoet nu zien of het past op mijn aanzet: de c2 en c1 heb ik nog niet gevonden...
Als ik parabola invoer vind wel leuke suggesties (zie bv: arc length function).
-
- Berichten: 5.609
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Die hangt af van je specifieke parabool en waar je er op begint. Om die te vinden moet je je beginvoorwaarden x(0) en x'(0) inpluggen in de vergelijking. Vervolgens kun je zo oplossingen voor c_1 en c_2 vinden.kMoet nu zien of het past op mijn aanzet: de c2 en c1 heb ik nog niet gevonden...
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-
-
- Berichten: 216
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Ik ben wat onzeker over welke snelheid nu constant moet zijn. Er geldt:
\((\frac{ds}{dt})^2=(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2\)
en \(y=a x^2\)
. Is de vereiste nu dat de snelheid langs de parabool kromme constant is: \(\frac{ds}{dt}\)
of betreft het de snelheid in de y-richting: \(\frac{dy}{dt}\)
?. Indien het de snelheid in y-richting is dan ligt de snelheid in x-richting vast (via \(y=a x^2\)
) . In dat geval is de snelheid langs de parabool niet constant.-
- Berichten: 202
Re: Paraboolplot op constante snelheid
@robertus58a
De snelheid
De snelheid
\(\frac{ds}{dt}\)
langs de parabool moet constant zijn; \({ds}\)
is dus een stukje van de parabool.-
- Berichten: 216
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Alvast vooruitlopend op enige reactie:
indien de snelheid in y-richting constant is , Vy, dan is de snelheid in x-richting te bepalen met:
Dit is eenvoudig op te lossen (en geeft exact dezelfde oplossing als de berekening via de versnelling in y-richting op 0 te stellen):
indien de snelheid in y-richting constant is , Vy, dan is de snelheid in x-richting te bepalen met:
\(\frac{dx}{dt} 2 a x= V_y\)
. Dit is eenvoudig op te lossen (en geeft exact dezelfde oplossing als de berekening via de versnelling in y-richting op 0 te stellen):
\(x=\sqrt{\frac{V_y}{a}+C}\)
-
- Berichten: 216
Re: Paraboolplot op constante snelheid
Dan heb je m.i. alleen een impliciete oplossing in x (maar expliciet in t):
\(\frac{x\, \sqrt{4\, a^2\, x^2 + 1}}{2} + \frac{\sinh^{-1}\!\left(2\, x\, \sqrt{a^2}\right)}{4\, \sqrt{a^2}} = t + C\)
De enige manier die ik zou weten is uitgaande van de expliciete functie t=f(x) een polynoom (of iets anders) fitten zodanig dat je x=g(t) krijgt. Dit is natuurlijk geen elegante oplossing (die bovendien voor elke parabool opnieuw gedaan moet worden)-
- Berichten: 202
Re: Paraboolplot op constante snelheid
@Robertus58a
Ja, ik denk dat dat hem is. Ik heb in het laatste stuk van mijn beginposting wat foutjes staan. Ik merk dat je die er uit hebt gehaald.
Formule ingevoerd bij Wolfram alpha
Voor de meelezers (ik wil voor de inverse-sinus-hyperbolicus de omzetting naar logaritmische vorm):
De inverse sinus hyperbolicus
Wolfram Alpha inverse sinus hyperbolicus
Ja, ik denk dat dat hem is. Ik heb in het laatste stuk van mijn beginposting wat foutjes staan. Ik merk dat je die er uit hebt gehaald.
Formule ingevoerd bij Wolfram alpha
Voor de meelezers (ik wil voor de inverse-sinus-hyperbolicus de omzetting naar logaritmische vorm):
De inverse sinus hyperbolicus
Wolfram Alpha inverse sinus hyperbolicus
