Springen naar inhoud

e^1


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Doffer

    Doffer


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 september 2005 - 19:37

Hoi

e^1 = 2,7......
Waar komt deze 2,7 vandaan ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 september 2005 - 19:55

http://nl.wikipedia....ki/E_(wiskunde)
Om kort door de bocht te gaan: die formule f(x) waarbij de afgeleide f'(x) gelijk is aan de eerdergenoemde f(x).

Zie bovenstaande link bij kopje Eigenschappen.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#3


  • Gast

Geplaatst op 17 september 2005 - 20:17

Wat is je "schoolachtergrond"?
Of, hoe ben je tot deze vraag gekomen?

#4

Doffer

    Doffer


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2005 - 19:14

Hoi Safe

Op de universiteit gebruiken we heel veel de e macht, nu vroeg ik me af hoe ze aan dat ding kwamen.
Pi gbruiken we ook veel maar dat is de verhouding van de straal en de omtrek van een cirkel.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 september 2005 - 14:55

Universiteit, dan heb je vast integralen gezien?
Het getal e kan op de volgende manier ingevoerd worden.

We weten dat :shock: xa dx = xa+1/(a+1) (+C)

Dit zal echter niet lukken voor a = -1, dan deel je immers door 0.
Voor dat speciale geval kunnen we een nieuwe primitieve functie definiŽren die ik ln(x) zal noemen (je weet misschien al waarom, maar we kunnen hem nu ook gewoon "h" noemen of wat dan ook...).

Dus: ;) 1/x dx = ln(x) +C
Wanneer we precies integreren van 1 tot x definiŽren we deze ln(x) als volgt: ln(x) = :?:(1->x) 1/x dx

We hebben dus ook dat (ln(x))' = 1/x.
Meetkundig geeft dit dus precies de oppervlakte onder de grafiek 1/x.

Vervolgens kan je, eveneens aan de hand van integralen, aantonen dat ln zich gedraagt als een logaritme. Het voldoet aan eigenschappen zoals:
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(a^n) = nln(a)
Deze zal ik hier niet expliciet doen, tenzij je daar om vraagt.

Nu zou je op zoek kunnen gaan naar de basis (grondtal) van deze logaritme door te kijken wanneer ln(x) gelijk wordt aan 1. Dit bleek 2.718... te zijn, later e genoemd.
Dit betekent dus dat we e kunnen definiŽren als het getal x waarvoor geldt dat: ln(x) = :?:(1->x) 1/x dx = 1, dus waarvoor de oppervlakte onder die grafiek 1 is, het grondtal van ln(x) dus.

Door verdere inspectie van deze nieuwe functie ln(x) kun je ook vinden dat ze bijectief is, daardoor is ze ook inverteerbaar! We definiŽren de inverse functie als exp(x) en noemen dit de exponentiŽle functie. Het getal e definiŽren we dan als e = exp(1).

Zoals eerder gezegd kun je het ook "definiŽren" als de functie die zichzelf blijft na afleiden. Je kan dit natuurlijk ook zien als een eigenschap, maar een erg belangrijk dus. (ex)' = ex.

#6

Doffer

    Doffer


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2005 - 17:05

Hoi TD

Het is me helemaal duidelijk.

Bedankt voor je antwoord.

Roland

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 september 2005 - 22:08

Graag gedaan.

Overigens is het bovenstaande misschien wat 'technisch' maar het is wel een manier om e (en dan vooral e^x) op een wiskundig correcte manier in te voeren.

#8

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 september 2005 - 23:28

der is ook een andere manier, en men kan bewijzen dat die functie hetzelfde is als exp(x) zoals hierboven ingevoerd:

exp(x)=1+x/1+x≤/2+x≥/3!+....
vul hierin 1 in
en je bekomt
1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+..... en laat je som tot oneindig gaan =>2.71...
vandaar bekomt men de waarde 2.71...

mvg

Andy

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 september 2005 - 12:02

Tuurlijk, ik had het ook niet over mogelijke definities maar een manier om het in te voeren zonder (bvb) een reeks uit je hoed te toveren.

Je kan eveneens aantonen dat deze definities equivalent zijn met:
e = lim(n->:shock:) (1+1/n)n

Of nog, de enige oplossing van: y' = y met y(0) = 1 :?:
Ook hier kan je aantonen dat de vorige 3 er mee equivalent zijn.

#10

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 september 2005 - 13:22

Tuurlijk, ik had het ook niet over mogelijke definities maar een manier om het in te voeren zonder (bvb) een reeks uit je hoed te toveren.

Je kan eveneens aantonen dat deze definities equivalent zijn met:
e = lim(n->:shock:) (1+1/n)n

Of nog, de enige oplossing van: y' = y met y(0) = 1 :?:
Ook hier kan je aantonen dat de vorige 3 er mee equivalent zijn.

hoewel de waarde bij de definitie met afgeleiden uit de lucht valt :?:
???





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures