Hoi
e^1 = 2,7......
Waar komt deze 2,7 vandaan ?
Laatste berichten
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
09:27
2013 – Augustus Vraag 3 2
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
e^1
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 1.460
Re: e^1
http://nl.wikipedia.org/wiki/E_%28wiskunde%29
Om kort door de bocht te gaan: die formule f(x) waarbij de afgeleide f'(x) gelijk is aan de eerdergenoemde f(x).
Zie bovenstaande link bij kopje Eigenschappen.
Om kort door de bocht te gaan: die formule f(x) waarbij de afgeleide f'(x) gelijk is aan de eerdergenoemde f(x).
Zie bovenstaande link bij kopje Eigenschappen.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>
-
- Berichten: 24.578
Re: e^1
Universiteit, dan heb je vast integralen gezien?
Het getal e kan op de volgende manier ingevoerd worden.
We weten dat
xa dx = xa+1/(a+1) (+C)
Dit zal echter niet lukken voor a = -1, dan deel je immers door 0.
Voor dat speciale geval kunnen we een nieuwe primitieve functie definiëren die ik ln(x) zal noemen (je weet misschien al waarom, maar we kunnen hem nu ook gewoon "h" noemen of wat dan ook...).
Dus:
1/x dx = ln(x) +C
Wanneer we precies integreren van 1 tot x definiëren we deze ln(x) als volgt: ln(x) =
(1->x) 1/x dx
We hebben dus ook dat (ln(x))' = 1/x.
Meetkundig geeft dit dus precies de oppervlakte onder de grafiek 1/x.
Vervolgens kan je, eveneens aan de hand van integralen, aantonen dat ln zich gedraagt als een logaritme. Het voldoet aan eigenschappen zoals:
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(a^n) = nln(a)
Deze zal ik hier niet expliciet doen, tenzij je daar om vraagt.
Nu zou je op zoek kunnen gaan naar de basis (grondtal) van deze logaritme door te kijken wanneer ln(x) gelijk wordt aan 1. Dit bleek 2.718... te zijn, later e genoemd.
Dit betekent dus dat we e kunnen definiëren als het getal x waarvoor geldt dat: ln(x) = (1->x) 1/x dx = 1, dus waarvoor de oppervlakte onder die grafiek 1 is, het grondtal van ln(x) dus.
Door verdere inspectie van deze nieuwe functie ln(x) kun je ook vinden dat ze bijectief is, daardoor is ze ook inverteerbaar! We definiëren de inverse functie als exp(x) en noemen dit de exponentiële functie. Het getal e definiëren we dan als e = exp(1).
Zoals eerder gezegd kun je het ook "definiëren" als de functie die zichzelf blijft na afleiden. Je kan dit natuurlijk ook zien als een eigenschap, maar een erg belangrijk dus. (ex)' = ex.
Het getal e kan op de volgende manier ingevoerd worden.
We weten dat
xa dx = xa+1/(a+1) (+C)Dit zal echter niet lukken voor a = -1, dan deel je immers door 0.
Voor dat speciale geval kunnen we een nieuwe primitieve functie definiëren die ik ln(x) zal noemen (je weet misschien al waarom, maar we kunnen hem nu ook gewoon "h" noemen of wat dan ook...).
Dus:
1/x dx = ln(x) +CWanneer we precies integreren van 1 tot x definiëren we deze ln(x) als volgt: ln(x) =
(1->x) 1/x dxWe hebben dus ook dat (ln(x))' = 1/x.
Meetkundig geeft dit dus precies de oppervlakte onder de grafiek 1/x.
Vervolgens kan je, eveneens aan de hand van integralen, aantonen dat ln zich gedraagt als een logaritme. Het voldoet aan eigenschappen zoals:
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(a^n) = nln(a)
Deze zal ik hier niet expliciet doen, tenzij je daar om vraagt.
Nu zou je op zoek kunnen gaan naar de basis (grondtal) van deze logaritme door te kijken wanneer ln(x) gelijk wordt aan 1. Dit bleek 2.718... te zijn, later e genoemd.
Dit betekent dus dat we e kunnen definiëren als het getal x waarvoor geldt dat: ln(x) =
(1->x) 1/x dx = 1, dus waarvoor de oppervlakte onder die grafiek 1 is, het grondtal van ln(x) dus.Door verdere inspectie van deze nieuwe functie ln(x) kun je ook vinden dat ze bijectief is, daardoor is ze ook inverteerbaar! We definiëren de inverse functie als exp(x) en noemen dit de exponentiële functie. Het getal e definiëren we dan als e = exp(1).
Zoals eerder gezegd kun je het ook "definiëren" als de functie die zichzelf blijft na afleiden. Je kan dit natuurlijk ook zien als een eigenschap, maar een erg belangrijk dus. (ex)' = ex.
-
- Berichten: 294
Re: e^1
der is ook een andere manier, en men kan bewijzen dat die functie hetzelfde is als exp(x) zoals hierboven ingevoerd:
exp(x)=1+x/1+x²/2+x³/3!+....
vul hierin 1 in
en je bekomt
1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+..... en laat je som tot oneindig gaan =>2.71...
vandaar bekomt men de waarde 2.71...
mvg
Andy
exp(x)=1+x/1+x²/2+x³/3!+....
vul hierin 1 in
en je bekomt
1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+..... en laat je som tot oneindig gaan =>2.71...
vandaar bekomt men de waarde 2.71...
mvg
Andy
-
- Berichten: 24.578
Re: e^1
Tuurlijk, ik had het ook niet over mogelijke definities maar een manier om het in te voeren zonder (bvb) een reeks uit je hoed te toveren.
Je kan eveneens aantonen dat deze definities equivalent zijn met:
e = lim(n-> ) (1+1/n)n
Of nog, de enige oplossing van: y' = y met y(0) = 1
Ook hier kan je aantonen dat de vorige 3 er mee equivalent zijn.
Je kan eveneens aantonen dat deze definities equivalent zijn met:
e = lim(n->
) (1+1/n)nOf nog, de enige oplossing van: y' = y met y(0) = 1
Ook hier kan je aantonen dat de vorige 3 er mee equivalent zijn.
-
- Berichten: 647
Re: e^1
hoewel de waarde bij de definitie met afgeleiden uit de lucht valtTD schreef:Tuurlijk, ik had het ook niet over mogelijke definities maar een manier om het in te voeren zonder (bvb) een reeks uit je hoed te toveren.
Je kan eveneens aantonen dat deze definities equivalent zijn met:
e = lim(n->
Of nog, de enige oplossing van: y' = y met y(0) = 1
Ook hier kan je aantonen dat de vorige 3 er mee equivalent zijn.
???
