Springen naar inhoud

Differentiaalrekening


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flo123

    flo123


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 11:18

Hallo allemaal,

Ik heb even een vraagje over differentiaalrekeningen.

De opgave luidt: Vind een uitdrukking voor P(t) als

(1) (dP/dt)=K(M-P)

Met P(t) is performance na een bepaalde trainingstijd, M is het maximum te halen niveau, en k een positieve constante.

Het antwoord moet worden: (2) P(t)= M - Me^(-kt)

Mijn eerste gedachte was om bij (1) aan de ene kant P*(dP/dt) te krijgen, en aan de andere kant iets*dt. Dit lukte me echter niet. Tweede poging was om de rechterkant van (2) af te leiden, zodat ik weet waar ik naartoe moet werken. De e-macht blijft dan wel staan, dus ik ga ervan uit dat ik (1) om kan schrijven door een e-macht te gebruiken, ik zie zelf alleen niet hoe. Iemand een ideetje? Of misschien wel een hele andere oplossing?

Alvast bedankt!
Flo

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2011 - 11:36

Je kan de rechter kant uitschrijven en dan de term met P(t) er in naar links halen. Je hebt dan een vrij standaard differentiaalvergelijking.
Je kan ook substitueren met:
LaTeX
en dan eens zien waar dit je brengt.

Succes.

#3

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 12:05

Herschikken van de vergelijking geeft direct een eenvoudige integreerbare vorm: LaTeX --> LaTeX --> LaTeX , ........

#4

flo123

    flo123


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 12:08

Bedankt allebei! Robertus, bij jou snap ik de laatste stap niet, zou je die even kunnen uitleggen? (dus hoe je naar d(m-p)/(m-p) = -kdt gaat?

Ik kwam zelf uit op:

(1/u)*dP(t) = K*dt

=

(1/(M-P(t))) * dP(t) = K*dt

Als ik dat vervolgens integreer kom ik bijna uit, maar dan mis ik alleen nog de M voor e^-kt aan het eind. Mijn antwoord is dan: P(t) = M - e^-kt
Waar zit dan de fout?

Veranderd door flo123, 13 januari 2011 - 12:17


#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2011 - 12:14

Bedankt! Ik heb (M-P(t)) gesubstitueerd met U(t). Vervolgens krijg ik

(1/u)*dP(t) = k*dt

Je moet dP(t) dan ook nog vervangen door -dU(t).

beide kanten primitiveren geeft:

-ln(M-P(t)) = kt

Je mist hier een constante:
LaTeX

#6

robertus58a

    robertus58a


  • >100 berichten
  • 160 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 12:21

Bedankt allebei! Robertus, bij jou snap ik de laatste stap niet, zou je die even kunnen uitleggen? (dus hoe je naar d(m-p)/(m-p) = -kdt gaat?

Aangezien m een constante is: d(m-p) = d(m)+d(-p) = 0 - d(p) = -d(p).

#7

flo123

    flo123


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 12:30

Oke, nu moet ik alleen nog de oorzaak van de M die ontbreekt in het eindantwoord vinden:

(1/u)*du = -k*dt

beide kanten integreren geeft:

ln(U(t)) = -kt

ln(M - P) = -kt

M - P(t) = e^-kt

P(t) = M - e^-kt

terwijl het moet zijn: P(t) = M - Me^-kt

#8

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2011 - 12:59

ln(U(t)) = -kt

ln(U(t)) = -kt + C

#9

flo123

    flo123


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 13:02

ln(U(t)) = -kt + C


Sorry, was het even vergeten. Maar dat verklaart nog niet de ontbrekende M waar ik naar op zoek ben, weet jij misschien waar die vandaan komt?

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2011 - 13:19

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
en dan heb je een beginwaarde probleem. Waarschijnlijk mag je aannemen dat geldt:
LaTeX

#11

flo123

    flo123


  • 0 - 25 berichten
  • 13 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2011 - 13:32

Onwijs bedankt voor je tijd! Hij is me nu helemaal duidelijk. C2 = e^c, en als je de beginconditie invult dan komt eruit dat c2 is M.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures