Springen naar inhoud

Wiskunde vraagstuk: schattenjacht


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Didius

    Didius


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2011 - 22:46

Hoi

Recent vond ik in een wiskundeboek (3e middelbaar) het volgende vraagstuk:

Karel heeft een oude schatkaart gevonden met de volgende tekst:
“Loop vanaf de grote eik naar de dichtstbijzijnde toren aan de oever van de Schelde en sla daar over een hoek van 90◦ linksaf en leg eenzelfde afstand af. Herbegin bij de grote eik, loop naar de andere toren aan de over, sla daar over een hoek van 90◦ rechtsaf en leg eenzelfde afstand af. De schat bevindt zich precies in het midden van de twee eindpunten.”
Karel trekt naar de Schelde en vindt zonder problemen de twee torens, maar de grote eik staat er niet meer! Pech? Neen, met wat meetkunde kun je toch de plaats van de schat vinden. Kun jij Karel helpen? Het is echter niet gemakkelijk!

(Zie bijlage)

Een fascinerend vraagstuk, want blijkbaar maakt het niet uit waar de Eik staat, de schat ligt steeds op dezelfde positie (zie GeoGebra bestand in bijlage)

Het valt op zich eenvoudig te bewijzen, alles in een assenstelsel plaatsen levert al snel de juiste locatie.

In dat boek zijn assenstelsel en het rekenen met coördinaten echter nog niet gezien, het moet dus mogelijk zijn dit te bewijzen met elementaire meetkunde (pythagoras, thales, etc) zonder gebruik te maken van analytische meetkunde.

Ik zit al verschillende dagen mijn hoofd te breken over een mogelijke oplossing. Een eerste deel denk ik reeds gevonden te hebben. (Ik heb reeds bewijzen dat S op de middelloodlijn ligt van het lijnstuk dat de torens verbindt) Maar verder geraak ik niet.

Kan iemand me helpen?

Bijgevoegde Bestanden


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 januari 2011 - 23:16

Die is inderdaad pittig, heb ik eventjes op moeten zoeken ;)

Maar je kunt hem dus oplossen met enkel congruente driehoeken.

Eerst en vooral is het vinden van een goede oplossing eenvoudig. Je kiest gewoon eik op dezelfde plaats als T1, dan is de meetkunde niet moeilijk.

Om te bewijzen dat de plaats van E(=Eik) niet uitmaakt, moet je bewijzen dat de locatie van de schat bij een willekeurige E, dezelfde is als de locatie van de schat bij een eenvoudige E, bijvoorbeeld E=T1. Om dit te zien moet je eens beide constructies tekenen, en dan bewijzen dat AB en A'B' elkaar in elkaars midden snijden. Dit kun je doen met congruente driehoeken.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

Didius

    Didius


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2011 - 23:30

Om te bewijzen dat de plaats van E(=Eik) niet uitmaakt, moet je bewijzen dat de locatie van de schat bij een willekeurige E, dezelfde is als de locatie van de schat bij een eenvoudige E, bijvoorbeeld E=T1. Om dit te zien moet je eens beide constructies tekenen, en dan bewijzen dat AB en A'B' elkaar in elkaars midden snijden. Dit kun je doen met congruente driehoeken.

Ik blijf erop staren, je werkt toch niet met (indien A'=T1) ∆AA'S en ∆BB'S ? Met welke ∆'en dan wel?

#4

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 januari 2011 - 23:37

Ik blijf erop staren, je werkt toch niet met (indien A'=T1) ∆AA'S en ∆BB'S ? Met welke ∆'en dan wel?

eerst ∆(A' A T2) en ∆(B' B T2), dan ∆(A A' S) en ∆(B B' S)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#5

Didius

    Didius


  • >25 berichten
  • 30 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2011 - 23:56

eerst ∆(A' A T2) en ∆(B' B T2), dan ∆(A A' S) en ∆(B B' S)

Mijn excuses, ik ben nog steeds niet volledig mee, maar de denkpiste is wel interessant.

Zie tekening in bijlage:
Dus: De rode figuur is in het geval E' = T1 (=A')
Dan weet je volgens de instructies:
  • |T1T2| = |T2B'|
  • |B'S'| = |S'A'|
  • en de hoek van 90°

En dan moet er in feite bewezen worden dat S = S', toch?

Het eerste paar driehoeken dat je aanhaalt zijn toch niet eens congruent? (of was dat met andere punten?)

Bijgevoegde Bestanden

Veranderd door Didius, 15 januari 2011 - 23:57


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 januari 2011 - 00:52

Gelijkaardig vraagstuk (maar in andere bewoordingen) is hier al eens aan bod geweest; het kan ook erg elegant met complexe getallen (draaien is dan vermenigvuldigen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 januari 2011 - 02:06

Het eerste paar driehoeken dat je aanhaalt zijn toch niet eens congruent? (of was dat met andere punten?)

Tikfoutje ;)

eerst ∆(A' E T2) en ∆(B' B T2), dan ∆(A A' S) en ∆(B B' S)
vooral die 2e is tricky. Je moet namelijk goed op een rij zetten wat je weet en wat je wil bewijzen.

Ofwel ga je er van uit dat je weet dat je S kent, en bewijs je dat die het midden is tussen A' en B' (dus ook bewijzen dat hij op A'B' ligt)
Ofwel ga je er van uit dat je weet dat je S' kent, en bewijs je dat die het midden is tussen A en B (dus ook bewijzen dat hij op AB ligt)
Ofwel bewijs je dat AB en A'B' elkaar middendoor snijden, waardoor het snijpunt=S=S' (mijn favoriet)

Alle 3 zijn mogelijk
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures