Waar-vals vraag primitieve

tvhooreb

f is continu op R\{0}, dan bezit f een primitieve op R\{0}.

Waar of Vals..

Dit was een vraag op een test , het antwoord is vals. Maar ik weet geen verklaring waarom ?iemand?

grtjs

tvhooreb

Btw ,, een tegenvoorbeeld volstaat ook !

317070

tvhooreb schreef:f is continu op R\{0}, dan bezit f een primitieve op R\{0}.

Waar of Vals..

Dit was een vraag op een test , het antwoord is vals. Maar ik weet geen verklaring waarom ?iemand?

grtjs

1/x is een tegenvoorbeeld. Dit heeft een primitieve OFWEL op R+\{0}, OFWEL op R-\{0}, maar nooit op beide delen tegelijk.

tvhooreb

1/x is een tegenvoorbeeld. Dit heeft een primitieve OFWEL op R+\{0}, OFWEL op R-\{0}, maar nooit op beide delen tegelijk.

Is de primitieve van 1/x niet ln |x| ?

dirkwb

Inderdaad en bestaat dus op heel R\{0}.

317070

Hmm, je hebt gelijk. Ik heb nog even moeten opzoeken, de functie heeft een primitieve, maar is niet integreerbaar over R/{0}, zo is het. Ik zat met int(1/z) = ln(z) in mijn hoofd, en ln(z) is soms complex op de reële as en dus niet integreerbaar over R/{0}.

Om eerlijk te zijn, ik denk dat er iets is misgelopen in de vraagstelling. Want volgens mij klopt het inderdaad, maar ik vind geen bewijs. Ik ken (en vind) geen voldoende voorwaarde voor het bestaan van een primitieve, behalve in het complexe domein. (holomorf).

Ben je zeker dat de vraag exact zo gesteld is? Stond er er niet één i.p.v. een?

dirkwb

Het antwoord klopt, zie onderstaand link onder kopje "Antiderivatives of non-continuous functions".

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Antiderivative

Maar om dit zelf the bedenken

Axioma91

Zie ook de volgende functie:

f: R-> R gedefinieerd door

{ f(x) = 0 wanneer x = 0 f(x) = 1 wanneer x != 0

Dan is M_i = 1 *delta_i en m_i = 0*delta_i.

Je ziet dus dat de ondersom over een klein intervalletje rondom 0 niet gelijk is aan de bovensom.

Dan kan je concluderen dat de functie op dat punt niet integreerbaar is.

317070

dirkwb schreef:Het antwoord klopt, zie onderstaand link onder kopje "Antiderivatives of non-continuous functions".

Zie ook de volgende functie:

f: R-> R gedefinieerd door

{ f(x) = 0 wanneer x = 0 f(x) = 1 wanneer x != 0

Dan is M_i = 1 *delta_i en m_i = 0*delta_i.

Je ziet dus dat de ondersom over een klein intervalletje rondom 0 niet gelijk is aan de bovensom.

Dan kan je concluderen dat de functie op dat punt niet integreerbaar is.

Dat is dan ook niet de vraag. Als een functie niet integreerbaar over V is kan ze nog steeds een primitieve hebben over V. Ik had die fout ook eerst gemaakt. Bovendien is de vraag ook niet of ze dan in 0 integreerbaar is, maar in R/{0}, bovendien is de delta-functie geen reële functie, maar een distributie.

EvilBro

f is continu op R\{0}, dan bezit f een primitieve op R\{0}.

Wat wordt hier precies verstaan onder primitieve?

dirkwb

Hmmm, zelfs daar zie ik niets bruikbaars tussen staan...

Waar heb je het over? Het antwoord staat gewoon onder dat kopje. Bij some examples is de eerste voorbeeld een heel mooi tegenbewijs.

tvhooreb

317070 schreef:Hmmm, zelfs daar zie ik niets bruikbaars tussen staan...

Dat is dan ook niet de vraag. Als een functie niet integreerbaar over V is kan ze nog steeds een primitieve hebben over V. Ik had die fout ook eerst gemaakt. Bovendien is de vraag ook niet of ze dan in 0 integreerbaar is, maar in R/{0}, bovendien is de delta-functie geen reële functie, maar een distributie.

Een functie is primitieve van f op [a,b] , als er geldt F'(x)=f(x) voor alles x element van [a,b]

dat is ongeveer de def

tvhooreb

Zou deze functie niet volstaan ,eerder een exotische functie maar die tellen ook :

f(x) = piecewise(x < 0, 1, 0 < x, ln(x))

grtz

317070

Waar heb je het over? Het antwoord staat gewoon onder dat kopje. Bij some examples is de eerste voorbeeld een heel mooi tegenbewijs.

The function

\( f(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\)
with
\( f\left(0\right)=0\)
is not continuous at
\(x = 0\)
but has the antiderivative

\(F\left(x\right)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)
with
\(F\left(0\right)=0\)
. Since f is bounded on closed finite intervals and is only discontinuous at 0, the antiderivative F may be obtained by integration:
\(F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)
.

En hoe is dat een tegenvoorbeeld?

Het feit dat hij EEN primitieve heeft op R sluit niet uit dat hij er ook een andere heeft op R/{0}, je laat gewoon dat punt weg...

Of zie ik dat nu verkeerd

dirkwb

Als f een primitieve heeft op heel R, dan heeft hij toch ook een primitieve op R\{0}? Want je kan dan gewoon het punt weglaten, toch?

\\Edit: dan zou de stelling dus waar moeten zijn. Ik snap het niet meer...

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Waar-vals vraag primitieve

Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve

Re: Waar-vals vraag primitieve