Springen naar inhoud

Vissenpopulatie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2011 - 19:56

Hallo allemaal,
Ik heb een opdracht gekregen en ik hoop dat jullie mij op weg kunnen helpen.

Er is een beginaantal LaTeX vissen. De vissenpopulatie neemt per week toe doordat er een percentage LaTeX nieuwe visjes worden geboren. We noemen LaTeX het geboortecijfer. Het sterftecijfer LaTeX is het percentage vissen dat door natuurlijke oorzaken overlijdt. Het geboortecijfer is doorgaans hoger dan het sterftecijfer, waardoor er een geboorteoverschot plaatsvindt. Dit overschot noemen we LaTeX . Kort gezegd kunnen we nu zeggen dat het aantal visjes met een percentage LaTeX per week zal toenemen, zolang er echter geen echte beperkingen op de leefomstandigheden zijn.

In plaats van LaTeX die wordt uitgedrukt in procenten, is het gemakkelijke om te werken met een vermenigvuldigingsfactor LaTeX

a) Laat zien dat bij benadering LaTeX voor kleine waardes (ten opzichte van 100) van LaTeX geldt.
Dit heb ik al kunnen oplossen, denk ik zo. Ik heb voor LaTeX 0,1 ingevuld (klein ten opzichte van 100) en dan krijg ik: LaTeX . Ik neem aan dat het zo voldoende aangetoond is. Het is volgens mij niet nodig om met bewijzen o.i.d. te werken.



In het vervolg werken we direct met LaTeX (oké, heel fijn, dus nu geldt LaTeX ?) Soortgelijke parameters zullen we zonder daar verder nog woorden aan vuil te maken steeds impliciet een dergelijke transformatie veronderstellen. (ik begrijp werkelijk niets van deze zin. Zou iemand deze voor me kunnen 'vertalen'?)

b) Laat zien dat het verloop van de vissenpopulatie onder deze aannamen kan worden beschreven met de differentiaalvergelijking
LaTeX .
Los deze vergelijking op als er LaTeX vissen zijn op tijdstip t = 0.

Ik begrijp nu niet hoe ze op bovenstaande differentiaalvergelijking zijn gekomen. Ik heb zelf uitgevogeld dat voor de vissenpopulatie LaTeX geldt: LaTeX (gewoon een exponentieel verband), dus:
LaTeX --> LaTeX --> LaTeX .
Dus LaTeX ?

Om het op te lossen voor LaTeX maak ik wel gebruik van de gegeven differentiaalvergelijking (er is immers gezegd dat dit aangenomen wordt): LaTeX
Dat is te herschrijven als LaTeX . Dus LaTeX ? Zodanig dat op t = 0 geldt dat LaTeX ? Met LaTeX als constante. Ik vind dit niet echt een oplossing. Hoe moet ik het uitwerken?



Buiten de 'natuurlijke sterfte' zullen er ook visjes doodgaan omdat ze gegeten worden door haaien. De kans dat een vis gevangen wordt hangt daarbij zowel af van het aantal vissen als van het aantal haaien LaTeX . Als het aantal vissen verdubbelt, zal bij een gelijk aantal haaien het aantal gegeten vissen ook verdubbelen. Daarnaast, als het aantal haaien verdubbelt, zal bij een gelijk aantal vissen het aantal gegeten vissen ook verdubbelen. We gebruiken de parameter LaTeX om de kans op een fatale ontmoetingen tussen één haai en één vis per week.

c) Druk het hierboven beschreven verband uit in een formule. Zodat je een nieuwe differentiaalvergelijking krijgt voor het verloop van de vissenpopulatie.
I have no idea.



Alvast bedankt voor de moeite om dit te lezen en ik hoop op goede hulp =)

Veranderd door Fruitschaal, 17 januari 2011 - 20:08


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 17 januari 2011 - 20:32

Bij vraag a), het antwoord gaat verder dan jij noemt hoor.
LaTeX
en
LaTeX

betekent toch dat
LaTeX
of niet? Dan moet je eerst voor alpha =1,01 en 1,02 kijken of dat ongeveer klopt.

Bij vraag b), heb je de functie e^x gehad? Die is in dit vraagstuk erg belangrijk.

#3

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2011 - 20:36

Bij vraag a), het antwoord gaat verder dan jij noemt hoor.
LaTeX


en
LaTeX

betekent toch dat
LaTeX
of niet? Dan moet je eerst voor alpha =1,01 en 1,02 kijken of dat ongeveer klopt.

Bij vraag b), heb je de functie e^x gehad? Die is in dit vraagstuk erg belangrijk.

Bij a) neem ik aan dat je maar één kleine waarde hoeft in te vullen en dat je dan gewoon kunt aannemen dat het klopt. Voor zover ik weet wordt er niet gevraagd naar meerdere waardes.

Bij b) weet ik dat de oplossing voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde iets met e^x te maken heeft, maar ik begrijp dus niet hoe ik hier op kom of hoe ik het verder moet uitwerken.

Waarom kan ik mijn beginpost trouwens niet meer aanpassen?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 januari 2011 - 20:44

Posts kun je mar 15 minuten ofzo aanpassen, maar de exacte tijd ken ik zelf ook niet...

Ivm vraag a). Mij lijkt het eerder dat je het voor alle waarden moet bewijzen (los daarvan vind ik het mar vrij louche aangetoond zo :P). Al van L'Hopital gehoord? Zoja, bereken dan eens
LaTeX
Dit bewijst dan dat toch al ;). Misschien kan het simpelder, maar zo zou ik het aanpakken.

Veranderd door Drieske, 17 januari 2011 - 20:45

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5


  • Gast

Geplaatst op 17 januari 2011 - 21:20

b). Je weet dat er een hoeveelheid vissen bijkomt gelijk aan een percentage van de bestaande hoeveelheid. Dat percentage, gedeeld door honderd, noem je alfa. Ofwel als er 10 procent geboren wordt is alfa 10/100=0,1. Dat staat precies in de DV: de toename (dV/dt) is 0,1 maal V. Meer dan dat is het niet.

Bepaal nu de algemene oplossing van de DV, dat is
LaTeX
met afgeleide
LaTeX
Invullen in de DV geeft
LaTeX
ofwel die a in je algemene oplossing is gewoon je alfa en C kan alles zijn.

En als er op t=0 Vo vissen zijn, moet dus C.1=Vo zijn (gewoon t=0 invullen in V). Dus wordt V
LaTeX

Duidelijk toch?

#6

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2011 - 22:11

Posts kun je mar 15 minuten ofzo aanpassen, maar de exacte tijd ken ik zelf ook niet...

Ivm vraag a). Mij lijkt het eerder dat je het voor alle waarden moet bewijzen (los daarvan vind ik het mar vrij louche aangetoond zo ;)). Al van L'Hopital gehoord? Zoja, bereken dan eens
Bericht bekijken

b). Je weet dat er een hoeveelheid vissen bijkomt gelijk aan een percentage van de bestaande hoeveelheid. Dat percentage, gedeeld door honderd, noem je alfa. Ofwel als er 10 procent geboren wordt is alfa 10/100=0,1. Dat staat precies in de DV: de toename (dV/dt) is 0,1 maal V. Meer dan dat is het niet.

Met een verhaaltje klinkt het wel aannemelijk dat de afgeleide gelijk is aan alpha maal de gewone functie. Maar ik neem aan dat het in vergelijkingvorm moet. En hoe moet ik dit doen?

Veranderd door Fruitschaal, 17 januari 2011 - 22:16


#7


  • Gast

Geplaatst op 18 januari 2011 - 06:44

\LaTeX

Als dit geldt, wat volgt er dan voor jouw limiet? Ik had deze vergelijking afgeleid uit de gegevens, dus het bewijs is rond, als je alles even netjes op een rijtje zet.

Dus wat is hier nou de fun van? De limiet gaat blijkbaar naar 1. Heb je dan bewezen dat alpha bij kleine waarden gelijk is aan ?

Nee dat kun je dus niet zeggen. Kijk even naar alle berekeningen, schrijf ze onder elkaar, en trek dan je conclusie.

Nu nog even de DV: je hebt gelijk, die had je al in je beginpost juist opgelost. Je zoekt teveel naar waarom en dat is niet nodig. Je geeft gewoon in vergelijkingen weer wat er gevraagd wordt en je geeft de oplossingen die gevraagd worden.

Opm: ik vind het verband tussen vraag a en b ook wazig. Je gebruikt de één niet voor de ander, maar volgens mij lukt dat hier ook niet. Er is wel een koppeling tussen ln en e maar het lijkt er op dat de vragen los staan van elkaar, de één een limietvraag en de ander een DV oplossen.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2011 - 10:33

Ja, dan differentieer je de teller en de noemer apart.
LaTeX

LaTeX ==> LaTeX = LaTeX . Dus wat is hier nou de fun van? De limiet gaat blijkbaar naar 1. Heb je dan bewezen dat alpha bij kleine waarden gelijk is aan LaTeX ?

De "fun" hiervan is dat dit betekent dat voor x gaande naar 0 ln(1+X) willekeurig dicht bij x ligt. Dus vervang nu x door LaTeX , dan krijg je dat:
LaTeX .
Dus idd, deze twee liggen willekeurig dicht bij elkaar als LaTeX klein is tov 100.

Snap je dit? Zoja, dan is dat stuk alvast bewezen ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2011 - 11:49

De "fun" hiervan is dat dit betekent dat voor x gaande naar 0 ln(1+X) willekeurig dicht bij x ligt. Dus vervang nu x door LaTeX

, dan krijg je dat:
LaTeX .
Dus idd, deze twee liggen willekeurig dicht bij elkaar als LaTeX klein is tov 100.

Snap je dit? Zoja, dan is dat stuk alvast bewezen ;).

Aha, ja, dat snap ik. Hoe dichter LaTeX bij 0 komt, hoe meer LaTeX ook bij 0 komt. Bij een steeds kleiner wordende waarde worden de twee termen aan elkaar gelijk. Als je die dus deelt op elkaar, krijg je als uitkomst 1.

Voor b) heb ik ook wat uit zien te vogelen. Alleen klopt de vraagstelling niet helemaal. De vraag doet vermoeden dat je eerst moet bewijzen hoe je op die differentiaalvergelijking komt, en dan pas hem moet oplossen. Maar als de stelling oplost, kun je daarmee ook het bewijs leveren.

LaTeX
LaTeX
LaTeX
Er geldt: LaTeX
Dus LaTeX

Nu is de differentiaalvergelijking opgelost en kan ik zelf begrijpen dat de afgeleide van V(t) gelijk is aan alpha keer V(t) zelf. Maar of het ook in deze volgorde mag? Ik vind van wel =P

Bedankt voor de goede hulp!



Ik heb alleen nog geen idee hoe ik c) moet oplossen.

Veranderd door Fruitschaal, 18 januari 2011 - 11:50


#10


  • Gast

Geplaatst op 18 januari 2011 - 13:02

Als de kans op een nieuw visje in de populatie alfa is (aantal geboorten één meer dan aantal gestorven) wordt de DV dV/dt=alfa.V.
Als nu de kans op een fatale ontmoeting tussen één haai met een vis beta is, hoe groot is dan de kans op een ontmoeting als er H haaien zijn? Dus wat wordt dan de DV?

#11

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2011 - 15:47

Als de kans op een nieuw visje in de populatie alfa is (aantal geboorten één meer dan aantal gestorven) wordt de DV dV/dt=alfa.V.
Als nu de kans op een fatale ontmoeting tussen één haai met een vis beta is, hoe groot is dan de kans op een ontmoeting als er H haaien zijn? Dus wat wordt dan de DV?

Als er H haaien zijn, dan is de kans op een ontmoeting tussen haai en vis LaTeX , toch? LaTeX is de kans op de ontmoeting tussen een haai en een vis. Dan is LaTeX de kans op ontmoeting tussen H haaien en een vis?

Dus dan geldt hier ook LaTeX ?

#12


  • Gast

Geplaatst op 18 januari 2011 - 20:45

Dus dan geldt hier ook LaTeX

?

Nee, dat is de DV voor een populatie van vissen die door één haai wordt bejaagd. Er moet nog H(t) bij.
Voor een populatie waar ook nog sterfte en geboorte voorkomt krijg je nu de som van je eerdere DV en deze laatste.

Veranderd door bessie, 18 januari 2011 - 20:48


#13

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 januari 2011 - 00:33

Dus LaTeX ?

En daaruit volgt dat LaTeX ?

#14

Fruitschaal

    Fruitschaal


  • >250 berichten
  • 524 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 januari 2011 - 14:04

LaTeX
Lijkt me trouwens beter.

Veranderd door Fruitschaal, 19 januari 2011 - 14:04


#15


  • Gast

Geplaatst op 19 januari 2011 - 14:17

LaTeX
Goed gezien, haaien krijgen geen kleine visjes als jongen!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures