Springen naar inhoud

Symmetrische matrix


  • Log in om te kunnen reageren

#1

die hanze

    die hanze


  • >250 berichten
  • 441 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2011 - 19:27

Er is een stelling, die zegt dat de karakteristieke vergelijking van een symm matrix volledig ontbindt over 1ste graadsfactoren, en een die zegt dat bij eigenwaarden bij een symm matrix altijd de algebraische multipliciteit gelijk is aan de meetkundige multipliciteit.
Bijgevolg kunnen we voor een symm matrix altijd een basis van eigenvectoren vinden.
Stel je nu een symm matrix voor met allemaal nullen op de diagonaal, dan heeft de karaksteristieke veelterm enkel het nulpunt 0.
Met algebraische multiplicicteit n (bij een nxn matrix).
De meetkundige multipliciteit is gelijk aan de dimensie van de eigenruimte bij 0, en dus gelijk aan de dimensie van de nulruimte bij onze matrix. Die nulruimte is echter niet gelijk aan n (of toch niet altijd). Dit is dus in strijd met het feit dat we een symm matrix altijd kunnen diagonaliseren.
Mijn vraag, wat is er mis met mijn redenering want er zit duidelijk een tegenstrijdigheid in, die matrix moet otch echt wel diagonaliseerbaar zijn of niet?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 januari 2011 - 19:46

Stel je nu een symm matrix voor met allemaal nullen op de diagonaal, dan heeft de karaksteristieke veelterm enkel het nulpunt 0.

Waarom denk je dit? Stel je eens de matrix
LaTeX
voor. Wat is de karakteristieke hiervan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

die hanze

    die hanze


  • >250 berichten
  • 441 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2011 - 20:19

gvd, inderdaad ik heb domweg de verkeerde karakteristieke veelterm uitgerekend.
Er is idd helemaal geen probleem met een symm matrix met nullen op de diagonaal.

ik heb echter nog een vraag over matrices, stel je hebt een lin afbeelding van V->W je krijgt daarvan de matrix voorstelling ten opzichte van gegeven basissen a van V en b van W.
Je kunt dan altijd een basis vinden van V en een van W zodat de matrixvoorstelling t.o.v. van die basissen een matrix van de vorm:
Ir O
O O
Waarbij Ir een eenheidsmatrix met dimensie r is.
Nu ik heb denk ik een methode om die basissen te vinden maar ze is zo simpel dat ik betwijfel dat ze juist is, Ik redeneer als volgt: neem de basis van a van V en bepaal de beelden van de basisvectoren. Neem die beelden dan als basis van W (na eventueel wat schrapwerk van lin afhankelijke vectoren. De matrix van de lin afbeelding tov deze 2 basissen zou dan van de bovenstaande vorm moeten zijn denk ik.
klopt dit?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 januari 2011 - 21:18

Ik snap uw "techniek" niet zo heel goed... Leg je hem anders eens uit op bijv deze matrix:
LaTeX ?
Mss snap ik het idee van jou dan beter. Momenteel denk ik dat het iets te eenvoudig gedacht is ;).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

die hanze

    die hanze


  • >250 berichten
  • 441 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2011 - 22:13

Die matrix is de voorstelling van een lin afbeedling tussen 2 vectorruimten, V en W, bij elke vectorruimte hoort een basis. zeg a voor die van V en b voor die van W. Nu wil ik de matrix in de vorm
Ir O
O O
krijgen. ik reken dus via de matrix eerst de beelden uit van de basisvectoren van a en zet die in een verzameling c. Deze c is zeker voortbrengend voor de beeldruimte in W, schrappen we lin afhankelijke vectoren dan kunnen we deze reduceren tot een basis van de beeldruimte.Als we nu onze lineaire afbeelding 'beperken' tot V naar beeldruimte t.o.v. a en c, dan heeft de matrixvoorstelling ervan toch de vorm van de eenheidsmatrix? of niet? want de beelden van de basisvectoren in a tov van c is toch gewoon 100, 010, 001 .
Als we nu de basis van onze beeldruimte uitbreiden tot een basis van W(dit kan want beeldruimte is een deelruimte van W).
Dit uitbreiden doen we door gewoon nog lin onafhankelijk vectoren bij te voegen. Deze vectoren worden dus niet geproduceerd bij de afbeelding, dus als we de matrix hiervoor opschrijven dan krijgen we enkel 0 rijen bij. en dus bekomen we de matrix van de vorm
Ir O
O O
Die ten opzichte is van de basis a van V en de basis W die de uitgebreide basis c is.
Is dit duidelijk genoeg?

#6

die hanze

    die hanze


  • >250 berichten
  • 441 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 januari 2011 - 22:19

Dus stel dat je matrix die je gegeven hebt de matrix van een lin afbeelding tussen R4->R3 ten opzichte van de standaardbasis voor R4 en de standaardbasis voor R3, dan neem ik als ene basis de standaard basis van R4 en de andere {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),(10,11,12)} deze reduceren geeft een basis van beeldruimte R3, dan eventueel indien nodig uitbreiden tot basis R3, en dan is de matrix tov standaard basis R4 en de hierboven geconstrueerde basis van R3 van de vorm
Ir O
O O

Veranderd door die hanze, 26 januari 2011 - 22:20


#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 januari 2011 - 10:56

In mijn ogen interpreteer je zo een matrix foutief... Laten we terug mijn voorbeeld beschouwen. Dus:
LaTeX .
Ten opzichte van de standaardbasissen in LaTeX en LaTeX . Dit betekent dat, bijv de derde standaardvector wordt afgebeeld op de coordinatenvector (8, 9, 10) van de andere standaardbasis. Omdat we met de standaardbasis werken is dit dus ook gewoon het punt (8, 9, 10). Duidelijk niet de kern dus ;).

Echter, rijherleiding van de matrix leert je dat de rang 2 is. Rijen- en kolommenrang zijn gelijk, dus zijn er ook maar twee lineair onafhankelijke kolommen. Dus jouw "nieuwe basis" heeft dimensie 2.

De basis waarvan je vertrekt blijft echter onveranderd: namelijk de standaardbasis van LaTeX . De derde kolom van de nieuwe matrix is een nul-kolom geworden. Ergo de derde standaardvector wordt afgebeeld op (0, 0, 0). Dus de derde standaardvector zit in de kern.

Dit kan dus nooit dezelfde afbeelding beschrijven als daarvoor! Dus een tegenspraak.

Als je de algemene werkmethode niet meester bent, maar ze wel graag wilt leren, wil ik die wel eens uitleggen.

PS twee jaar geleden op mijn examen Lineaire Algebra, was mijn vraag met die matrix hierboven:
bepaal basissen t.o.v. LaTeX met 1r de (rx(4-r)) matrix bestaande uit enen.
Hier zou jouw "methode" sowieso op falen. Want hier moet je gebruiken van de algemene techniek die hierboven geldt...

EDIT zeer vreemd, maar die ene "R" wil zich maar niet aanpassen :P.

Veranderd door Drieske, 27 januari 2011 - 10:58

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures